1) Около любого ромба можно описать окружность.
Неверно, так как окружность можно описать около четырехугольника, сумма противолежащих углов которого равна 180°, а в ромбе противолежащие углы равны, и, если они не прямые (частный случай), то их сумма не равна 180°.
2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.
Неверно. В любой треугольник можно вписать единственную окружность.
3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.
Неверно. Центр описанной около треугольника окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Неверно. Центр вписанной в треугольник окружности - точка пересечения его биссектрис.
Неверно, так как окружность можно описать около четырехугольника, сумма противолежащих углов которого равна 180°, а в ромбе противолежащие углы равны, и, если они не прямые (частный случай), то их сумма не равна 180°.
2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.
Неверно. В любой треугольник можно вписать единственную окружность.
3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.
Неверно. Центр описанной около треугольника окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Неверно. Центр вписанной в треугольник окружности - точка пересечения его биссектрис.
ответ: все утверждения неверны.
1.
М - середина АВ, значит МВ = АВ/2
Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4
К - середина ВС, значит КС = ВС/2
Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4
N - середина АС, значит NA = АС/2
G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4
По условию
PB + EC + GA = 12
АВ/4 + ВС/4 + АС/4 = 12
1/4 · (АВ + ВС + АС) = 12
АВ + ВС + АС = 12 · 4 = 48 (см)
2.
Из решения первой задачи следует, что
АР = 3/4 АВ
ВЕ = 3/4 ВС
CG = 3/4 AC
По условию
AP + BE + CG = 108
3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108
3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108
АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)