рассмотрим треугольники abc и a1b1c1, у которых ав = a1b1, ас = a1c1 ∠ а = ∠ а1 (см. рис.2). докажем, что δ abc = δ a1b1c1.
так как ∠ а = ∠ а1, то треугольник abc можно наложить на треугольник а1в1с1 так, что вершина а совместится с вершиной а1, а стороны ав и ас наложатся соответственно на лучи а1в1 и a1c1. поскольку ав = a1b1, ас = а1с1, то сторона ав совместится со стороной а1в1 а сторона ас — со стороной а1c1; в частности, совместятся точки в и в1, с и c1. следовательно, совместятся стороны вс и в1с1. итак, треугольники abc и а1в1с1 полностью совместятся, значит, они равны.
В трапеции треугольники, образованные диагоналями и боковыми сторонами, равновелики. т.е.
S ∆ АЕД=S∆ ВЕС.
Тогда S ∆ ВЕС равна полуразности между площадью трапеции и суммой площадей ∆ АВЕ и ∆ ДЕС.
∆ АВЕ~∆ ДЕС по равным вертикальным и накрестлежащим углам
k=24/30=4/5
Тогда
высота h трапеции состоит из высот этих треугольников h1 и h2; h1:h2=4/5 ⇒ h=9 частей этого отношения.
точкой Е высота трапеции делится на
h1=h*4/9
h2=h*5/9
S ∆ АВЕ=0,5*24*4h/9=12*4h/9
S ∆ ДЕС=0,5*30*5h/9=15*5h/9
Площадь трапеции
S АВСД=(24+30)*h/2=27h
Сумма площадей треугольников при основаниях
S ∆ АВЕ+S ∆ ДЕС=12*4h/9+15*5h/9=41h/3
Сумма площадей треугольников при боковых сторонах
S АВСД – (S ∆ АВЕ+S ∆ ДЕС)=27h – 41h/3=40h/3
Площадь ∆ ВСЕ равна половине полученного значения (см. выше):
S ∆ BCE=(40h/3):2=20h/3
Найдем h из ∆ АДН.
h=AH=AД*sin 60º
h=(3*√3):2=1,5√3
S ∆ BCE=20*1,5√3/3=10√3
рассмотрим треугольники abc и a1b1c1, у которых ав = a1b1, ас = a1c1 ∠ а = ∠ а1 (см. рис.2). докажем, что δ abc = δ a1b1c1.
так как ∠ а = ∠ а1, то треугольник abc можно наложить на треугольник а1в1с1 так, что вершина а совместится с вершиной а1, а стороны ав и ас наложатся соответственно на лучи а1в1 и a1c1. поскольку ав = a1b1, ас = а1с1, то сторона ав совместится со стороной а1в1 а сторона ас — со стороной а1c1; в частности, совместятся точки в и в1, с и c1. следовательно, совместятся стороны вс и в1с1. итак, треугольники abc и а1в1с1 полностью совместятся, значит, они равны.