1. Диагонали прямоугольника равны, а также, по свойству параллелограмма, точкой пересечения делятся пополам. Соответственно, EB = DE = AE = EC.
2. Рассмотрим треугольник ВЕС. Так как EB = EС (по выше доказанному), то он равнобедренный. Тогда ∠EBC = ∠ECB = 65° (по свойству равнобедренного треугольника). По теореме о сумме углов треугольника, имеем, что - ∠BEC = 180°-(65°+65°) = 50°.
(Хочу подметить, что ∠DEC тоже находится между диагоналями, но так как он смежный вместе с углом в 50° (острым), то он тупой. А по условию нам нужен не тупой, а острый.)
Дано:
ABCD - прямоугольник.
АС и DB - диагонали.
Е - точка пересечения диагоналей.
∠DBC = 65°.
Найти:
∠BEC = ?
1. Диагонали прямоугольника равны, а также, по свойству параллелограмма, точкой пересечения делятся пополам. Соответственно, EB = DE = AE = EC.
2. Рассмотрим треугольник ВЕС. Так как EB = EС (по выше доказанному), то он равнобедренный. Тогда ∠EBC = ∠ECB = 65° (по свойству равнобедренного треугольника). По теореме о сумме углов треугольника, имеем, что - ∠BEC = 180°-(65°+65°) = 50°.
(Хочу подметить, что ∠DEC тоже находится между диагоналями, но так как он смежный вместе с углом в 50° (острым), то он тупой. А по условию нам нужен не тупой, а острый.)
ответ: 50°.
У задачи два варианта решения, соответственно, есть два варианта ответов.
Так как в условии не указано, пересекаются ли биссектрисы,
Вариант 1)
Биссектрисы не пересекаются. По условию ВК=КF=FC
Угол ВКА=углу КАD - накрестлежащие.
Угол КАD=КАВ по условию. ⇒
Углы при основании АК треугольника АВК равны, ∆ АВК равнобедренный, АВ=ВК. Аналогично доказывается СD=CF.
Примем 1/3 ВС=а
Тогда АВ=CD=a, BC=AD=3a
P=8a
8a=88 см
a=11 см ⇒
AB=CD=11см
BC=AD=33 см
Вариант 2)
Биссектрисы пересекаются. По условию ВF=FK=KC
В треугольнике АВК угол ВКА=углу КАD – накрестлежащие.
Угол КАD=КАВ по условию. Углы при основании АК треугольника АВК равны,⇒
∆ АВК равнобедренный, АВ=ВК. Аналогично доказывается СD=CF.
Пусть 1/3 ВС=а
Тогда АВ=СD=2a, BC=AD=3a
P=AB+BC+CD+DA=10a
10а=88
а=8,8 см⇒
АВ=CD=17,6 см
BC=AD=26,4