Пусть будет трапеция АВСD, BC и AD - основания. Площадь трапеции - это полусумма оснований помноженная на высоту. Высоту не обязательно опускать из вершины. Проведём высоту так, чтобы центр вписанной окружности лежал на ней. Пусть это будет высота НК, О - центр вписанной окружности. Это возможно, если точки Н и К - точки касания окружности с основаниями трапеции (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). Средняя линия трапеции - это полусумма оснований, значит, площадь трапеции можно найти как средняя линия помноженная на высоту. У нас есть длина средней линии - 5, и если площадь - 40, значит, высота НК=40\5=8. НК=ОН+ОК=2ОК => ОК=8\2=4 - радиус вписанной окружности.
ΔCDB - прямоугольный. R=1/2·BC.(Радиус окружности ,описанной около прямоугольного треугольника = половине гипотенузы)
S(ΔDBC)/S(ΔABC) = DB·BC/AB·BC ⇒ S(ΔDBC)/S(ΔABC) = DB/BC (1)
S(ΔDBC)=1/2 DB·DC=1/2·DB·12=6·DB S(ΔDBC) = 6·DB
S(ΔABC)=1/2 AC·BE =1/2AC·10= 5·AC S(ΔABC)=5·AC
Получили,что S(ΔDBC)/ S(ΔABC) = 6·DB /5·AC (2)
Следовательно, DB / BC = 6·DB / 5·AC ⇒ 5AC=6BC (3)
Из Δ ВЕС найдём ЕС =х по т. Пифагора : ЕС²=ВС²-ВЕ²
х²=а²-10² ⇒ х=√а²-100 АС=2х=2·√а²-100
Используем (3) равенство : 5 АС=6 ВС и АС=2х ⇒
5·2√а²-100 = 6а ⇒ 100·(а²-100)=36 а² ⇒ 64 а²=10000
а²=10000 / 64 ⇒ а=100 / 8 R = 1/2 a = 50/8 = 25 / 4
ответ: 4.