Нужна В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М – середина отрезка АВ, точка К делит ребро DD1 в отношении 1:3, считая от точки D. Найдите угол между плоскостью МКВ1 и прямой ВD1.

1)
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности находят по формуле 
r=(а+в-с):2,
 где а и в - катеты, с - гипотенуза треугольника. 
По условию задачи  радиус вписанного круга равен (а-в):2.  
Вставим это значение радиуса в формулу:(а-в):2=(а+в-с):2  
Домножим обе части уравнения на 2 
а-в=а+в-с  
2в=с  
в=с:2  
Катет в вдвое меньше гипотенузы.  Следовательно, он противолежит углу 30ᵒ  
--------------------------
2) 
Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной трети высоты этого треугольника, а диаметр -двум третям. 
Высоту правильного треугольника находят по формуле
h=(a√3):2, где а - сторона треугольника. 
h=(18√3):2 
КН  ( диаметр окружности) = две трети высоты ВН = 2(18√3):2):3=6√3 
Окружность оказалось вписанной в трапецию  AMNB, высота которой равна диаметру окружности, т.е. 6√3 
Опустив из вершины   угла М высоту МН1 к основанию АВ, получим прямоугольный треугольник АМН1 с противолежащим высоте углом А= 60ᵒ. 
АМ отсюда равна К1Н1:sin60ᵒ =12 см  
АН₁ =АК₁*sin30ᵒ=6 см 
СН₂=АН₁=6см 
Н₁Н₂=МN =6 см  
Р трапеции AMNB=12*2+18+6=48 см

Сме́жные углы́ — это пара углов, которые дополняют друг друга до 180 градусов. Два смежных угла имеют общую вершину и одну общую сторону, две другие (не общие) стороны образуют прямую линию. Для угла 135 градусов смежным является угол в 45 градусов. Для угла x градусов смежным является угол 180 - x градусов. Если оба угла прямые, то они равны по 90 градусов и наоборот. 
В геометрии, два угла называются вертикальными, если они созданы пересечением двух прямых и не являются прилегающими. Такие углы имеют общую вершину. Они имеют одинаковую градусную меру и могут рассматриваться как равные.