В трапеции АВСD диагональ ВD=5, АС=4, угол САD=2 ВDА. Из А проведем прямую АК параллельно диагонали ВD до пересечения с продолжением ВС в точке К. Четырехугольник АВDА - параллелограмм, т.к. сторона АК равна и параллельна ВD, КВ|| АD. КВ=АD ∠ СКА=∠ ВDА как противоположные углы параллелограмма. В треугольнике КСА угол КСА равен углу САD как накрестлежащие при параллельных КС и АD и секущей АС. ( Равные углы на рисунке обозначены одинаковыми цифрами). Из угла ВСА проведем биссектрису ВМ. Тогда ∠ КСМ=∠ СКМ, т.к. ∠ ВСА=2 ∠ ВDА. Треугольник КСМ - равнобедренный. ∠ СМА - внешний при вершине М и равен сумме равных углов при стороне КС, следовательно. он равен углу КСА. Треугольники КСА и СМА подобны по двум углам: ∠СКА=∠МСА, ∠КСА=∠СМА ⇒ АК:АС=АС:АМ 5 АМ=16 АМ=3,2 СМ=КМ=5-3,2=1,8 По теореме косинусов найдем косинус∠ СМА ( для удобства обозначим его α СА²=СМ²+АМ²-2*СМ*АМ*cos α 16=3,24+10,24-2*1,8*3,24 *cos α 16-13,48= - 11,52 cos α 2,52= -11,52 cos α cos ∠ СМА=cos α= - 0,21875 Косинусы смежных углов равны по величине, но имеют противоположные знаки. В Δ КМС cos угла КМС, смежного с углом СМА , равен 0,21875 КС равна КВ+ВС= сумме оснований трапеции. Найдем КС по т. косинусов. КС²=КМ²+СМ² -2 КМ*СМ*cos∠КМС КС²=3,.24+3,24-2*3,24*0,21875 КС²=5,0625 КС=2,25 Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Сумма оснований равна КС=2,25 Ср.лин. =2,25:2=1,125
1) BC -?
2) (меньшая сторона) -?
1) AB/sin∠C =BC/sinA = AC/sin∠B = 2R (теорема синусов).
∠C =180° -(∠A +∠B )= 180° -(30° +105°) =45°.
16/sin45° =BC/sin30°⇒
BC =15*(sin30°/sin45°) =16*(1/2) / (1/√2) =(16√2)/2 =8√2≈11,28 (см).
---
2) меньшая сторона та, которая лежит против меньшего угла ,
эта сторона BC(лежит против меньшего угла ∠A=30°).
длину AC не требуется , но :
AC /sin∠B = AB/sin∠C ⇒AC =AB*sin(∠B)/(sin∠C)=
16* sin105°/(1/√2) =16√2sin105°=16√2*√2(√3 +1)/4 =8(√3 +1) .
sin105° =sin(180°-75°) =sin75°=sin(45°+30°) =...
или
sin105° =sin(60°+45°) =sin60°*cos45°+cos60°*sin45°=
(√3/2)*(√2/2)+(1/2)*(√2/2) =√2(√3 +1)/4.
* * * * * * * Второй
∠C =180° -(∠A+∠B) =180° -(30°+105°) =45°.
Проведем высоту BH⊥AC (∠AHB=90°) ⇒ Прямоугольный треугольник BHC равнобедренный CH =BH ,т.к. ∠C =45°.
По теореме Пифагора из ΔBHC:
BC =√ (BH² +CH²) =√(2BH²) =BH√2 . Но из ΔABH BH=AB/2 =8(как катет против угла
∠A =30°). Значит BC =BH√2 =8√2.
Из А проведем прямую АК параллельно диагонали ВD до пересечения с продолжением ВС в точке К.
Четырехугольник АВDА - параллелограмм, т.к. сторона АК равна и параллельна ВD, КВ|| АD.
КВ=АD
∠ СКА=∠ ВDА как противоположные углы параллелограмма.
В треугольнике КСА угол КСА равен углу САD как накрестлежащие при параллельных КС и АD и секущей АС. ( Равные углы на рисунке обозначены одинаковыми цифрами).
Из угла ВСА проведем биссектрису ВМ.
Тогда ∠ КСМ=∠ СКМ, т.к. ∠ ВСА=2 ∠ ВDА.
Треугольник КСМ - равнобедренный.
∠ СМА - внешний при вершине М и равен сумме равных углов при стороне КС, следовательно. он равен углу КСА.
Треугольники КСА и СМА подобны по двум углам:
∠СКА=∠МСА, ∠КСА=∠СМА ⇒
АК:АС=АС:АМ
5 АМ=16
АМ=3,2
СМ=КМ=5-3,2=1,8
По теореме косинусов найдем косинус∠ СМА ( для удобства обозначим его α
СА²=СМ²+АМ²-2*СМ*АМ*cos α
16=3,24+10,24-2*1,8*3,24 *cos α
16-13,48= - 11,52 cos α
2,52= -11,52 cos α
cos ∠ СМА=cos α= - 0,21875
Косинусы смежных углов равны по величине, но имеют противоположные знаки.
В Δ КМС cos угла КМС, смежного с углом СМА , равен 0,21875
КС равна КВ+ВС= сумме оснований трапеции.
Найдем КС по т. косинусов.
КС²=КМ²+СМ² -2 КМ*СМ*cos∠КМС
КС²=3,.24+3,24-2*3,24*0,21875
КС²=5,0625
КС=2,25
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Сумма оснований равна КС=2,25
Ср.лин. =2,25:2=1,125