Дана трапеция АВСД : АВ || СD, CD=2AD. DP : PA = 2, BQ : QC = 3 : 4 Найти отношение площадей четырёхугольников ABQP и CDPQ. Решение. ( см. рисунок) Обозначим AB=a, CD=2a. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения. Получим треугольник DКC. AB- средняя линия этого треугольника, так как AB || CD и СD=2AB. Значит DA=AК и CB=КB.
Обозначим АР=x, тогда DР=2х ( см. условие DP : PA = 2) и AD=3x=AK ВQ=3y, тогда QC=4y и ВС=7у=КВ.
Обозначим высоту трапеции h и найдем площадь трапеции S=(a+2а)h/2=3ah/2. Отсюда ah=2S/3
Высота треугольника DKB равна 2h, высота треугольника АКВ равна h. (АВ- средняя линия треугольника DKB)
Площадь треугольника КАВ: ah/2=S/3. Площадь треугольника КDC: (2a·2h)|2=2ah=4S/3
Найдем площадь треугольника КАВ по другой формуле: половина произведения сторон на синус угла между ними (АК ·КB·sinα)/2, где α- угол между АК и КВ. Приравняем найденные площади треугольника КАВ: S/3=(3х·7у·sinα)/2⇒ x·y·sinα=2S/63. Найдем площадь треугольника КPQ по той же формуле: половина произведения сторон на синус угла между ними (РК·KQ·sinα)/2. Получим (4х·10у·sinα)/2= 20х·у·sinα=( заменим х·у·sinα на 2S/63)=40S/63 Площадь четырехугольника АВQP найдем вычитая из площади треугольника PKQ площадь треугольника КАВ: S₁=40S/63-S/3=19S/63. Площадь четырехугольника CDPQ найдем вычитая из площади треугольника KDC площадь треугольника КQP: S₂=4S/3-40S|63=44S|63 Находим S₁:S₂=19S/63 : 44S/63=19/44. ответ 19:44
Диаметр окружности, описанной около прямоугольника треугольника равен гипотенузе.Значит гипотенуза АВ=2R=22. На рисунке изображена окружность, вписанная в прямоугольный треугольник. По свойству касательной, проведенной к окружности из одной точки, отрезки касательных равны. Значит АК=AN=х, BN=22-x=BM Катет АВ=х+r=x+3 катет ВС=r+22-x=3+22-x=25-x По теореме Пифагора АВ²+ВС²=АС² (х+3)²+(25-х)²=22² или х²+6х+9+625-50х+х²=484, 2х²-44х+150=0, х²-22х+75=0, D=b²-4ac=(-22)²-4·75=484-300=184=(2√46)²
х₁=(22-2√46)/2 или х₂=(22+2√46)/2
х₁=11-√46 или х₂=11+√46 Тогда при х₁=11-√46 катет АВ=3+11-√46=14-√46, а катет ВС=3+22-(11-√46)=14+√46 или наоборот, при х₂=11+√46 кате АВ=3+11+√46=14+√46, а катет ВС=3+22-(11+√46)=14-√46. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S=1/2 (11-√46)(11+√46)=(формула a²-b²)=1/2(11²-46)=(121-46)/2=75/5
DP : PA = 2, BQ : QC = 3 : 4
Найти отношение площадей четырёхугольников ABQP и CDPQ.
Решение. ( см. рисунок)
Обозначим AB=a, CD=2a. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения. Получим треугольник DКC.
AB- средняя линия этого треугольника, так как AB || CD и СD=2AB.
Значит DA=AК и CB=КB.
Обозначим АР=x, тогда DР=2х ( см. условие DP : PA = 2) и AD=3x=AK
ВQ=3y, тогда QC=4y и ВС=7у=КВ.
Обозначим высоту трапеции h и найдем площадь трапеции S=(a+2а)h/2=3ah/2.
Отсюда ah=2S/3
Высота треугольника DKB равна 2h, высота треугольника АКВ равна h.
(АВ- средняя линия треугольника DKB)
Площадь треугольника КАВ: ah/2=S/3.
Площадь треугольника КDC: (2a·2h)|2=2ah=4S/3
Найдем площадь треугольника КАВ по другой формуле: половина произведения сторон на синус угла между ними (АК ·КB·sinα)/2, где α- угол между АК и КВ.
Приравняем найденные площади треугольника КАВ:
S/3=(3х·7у·sinα)/2⇒ x·y·sinα=2S/63.
Найдем площадь треугольника КPQ по той же формуле: половина произведения сторон на синус угла между ними (РК·KQ·sinα)/2.
Получим (4х·10у·sinα)/2= 20х·у·sinα=( заменим х·у·sinα на 2S/63)=40S/63
Площадь четырехугольника АВQP найдем вычитая из площади треугольника PKQ площадь треугольника КАВ:
S₁=40S/63-S/3=19S/63.
Площадь четырехугольника CDPQ найдем вычитая из площади треугольника KDC площадь треугольника КQP:
S₂=4S/3-40S|63=44S|63
Находим S₁:S₂=19S/63 : 44S/63=19/44.
ответ 19:44
На рисунке изображена окружность, вписанная в прямоугольный треугольник.
По свойству касательной, проведенной к окружности из одной точки, отрезки касательных равны.
Значит АК=AN=х, BN=22-x=BM
Катет АВ=х+r=x+3
катет ВС=r+22-x=3+22-x=25-x
По теореме Пифагора АВ²+ВС²=АС²
(х+3)²+(25-х)²=22²
или
х²+6х+9+625-50х+х²=484,
2х²-44х+150=0,
х²-22х+75=0,
D=b²-4ac=(-22)²-4·75=484-300=184=(2√46)²
х₁=(22-2√46)/2 или х₂=(22+2√46)/2
х₁=11-√46 или х₂=11+√46
Тогда при х₁=11-√46 катет АВ=3+11-√46=14-√46,
а катет ВС=3+22-(11-√46)=14+√46
или наоборот, при х₂=11+√46 кате АВ=3+11+√46=14+√46, а катет ВС=3+22-(11+√46)=14-√46.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
S=1/2 (11-√46)(11+√46)=(формула a²-b²)=1/2(11²-46)=(121-46)/2=75/5