Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 42 см, а боковая сторона на 18 см больше основания. Сделайте рисунок к задаче и запишите решение.

Треугольники АСТ и АВС подобны. Зная тангенс угла А, найдём коэффициент подобия
k = a₂/a₁
a₁/b₁ = tg(∠A)
a₁ = b₁*tg(∠A)
По Пифагору
AB² = a₁²+b₁² = (b₁*tg(∠A))² + b₁² = b₁²(tg(∠A)² + 1)
AB = b₁√(tg(∠A)² + 1)
Площадь через катеты
S(ABC) = 1/2*a₁*b₁
Площадь через гипотенузу и высоту к ней
S(ABC) = 1/2*АВ*a₂
1/2*a₁*b₁ = 1/2*АВ*a₂
a₂ = a₁*b₁/AB = a₁/√(tg(∠A)² + 1)
k = a₂/a₁ = 1/√(tg(∠A)² + 1) = 1/√((15/8)² + 1) = 1/√(225/64+64/64) = 8/√289 = 8/17
Почти готово :) Коэффициент пропорциональности найден, и радиус вписанной в больший треугольник окружности
r₁ = r₂/k = 160/(8/17) = 20*17 = 340

Дан треугольник с вершинами А(3;4), В(2;5) и С(7;8)
Составить уравнение прямой проходящей 
a) через вершину А, параллельно стороне BC.
Есть готовая формула:
Уравнение А ║ ВС:  (х - хА)/(хС - хВ) = (у - уА)/(уС - уВ) 
А ║ВС: (х - 3)        у - 4
               = 
                5               3
В общем виде 3х - 9 = 5у - 20.
                         3х - 5у + 11 = 0.

б) через вершину С, перпендикулярно стороне АB (А(3;4), В(2;5)).
    Уравнение АВ: (х-3)/(-1) = (х-4)/1.
                               1 Х + 1 У - 7 = 0,
                                у = -х + 7.
Уравнение перпендикулярной прямой у =(-1/(-1)*х + в = х + в.
Для определения параметра в подставим координаты точки С(7;8).
8 = 7 + в,
в = 8 - 7 = 1.
Получаем уравнение у = х + 1.

в) через вершину B, и середину стороны АС.А(3;4), В(2;5) и С(7;8)
Находим координаты точки Д - середину АС:
Д((3+7)/2=5; (4+8)/2=6) = (5; 6).
Уравнение ВД: В(2;5) и Д(5; 6).
(х-2)/3 = (у-5)/1.
х-3у+13 = 0,
у = (1/3)х + (13/3).