Найдите радиус описанной окружности вокруг прямоугольного - вопрос №1738647 от Glupuj 11.04.2023 17:16

Question

Геометрия: Найдите радиус описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника с суммой катетов 23см если радиус вписанной окружности равен 3 см.

Glupuj · Answer

Пусть х и у катеты а z - гипотенуза, исходя из условия получаем:
$xy=pr=3(x+y+z)\\x+y=23$
Выражаем произведение катетов:
xy=3(23+z)=69+3z

Находим гипотенузу:
$x+y=23\\(x+y)^2=23^2\\x^2+2xy+y^2=23^2\\x^2+y^2=z^2\\z^2+2xy=23^2\\xy=69+3z\\z^2+6z+6\cdot 23 - 23^2=0\\z^2+6z-391=0\\z=17\\z=-23$
вариант -23 не подходит так как:
xy=69+3z=69-69=0

Поэтому считаем что гипотенуза равна 17,
находим произведение катетов:
$xy=69+3\cdot 17= 120$
Теперь воспользуемся следующей формулой:
$\cfrac{xy}{2}=r^2+2Rr$
$\cfrac{120}{2}=9+6R\\60-9=6R\\R=\cfrac{51}{6}=\cfrac{17}{2}$
ответ: $\cfrac{17}{2}$