Если провести сечение пирамиды через ее высоту перпендикулярно боковой грани, то получится прямоугольный треугольник CNK, где CN - высота пирамиды - один из катетов треугольника, NK - второй катет (след сечения основания пирамиды, N - прямой угол, K - угол равный 60 градусам (из условия), CK - гипотенуза (высота боковой грани пирамиды).
Центр O вписанного в пирамиду шара лежит на CN так, что ON равно его радиусу. Из точки O проведем перпендикуляр на гипотенузу до точки M. OM также должен быть равен радиусу шара. Рассматривая это построение, нетрудно показать, что точка O делит высоту CN в отношении 1:2. Таким образом радиус вписанного шара равен 3 (9/3).
Объем шара (4/3)*π*3*3*3 = π*36 или примерно 3.14*36 = 113
Треугольник АВD - прямоугольный
угол АВD = 90° - 60° = 30° (теорема об острых углах прямоугольного треугольника)
АВ = 2 * АD = 2 * 3 = 6 (теорема о катете, лежащим против угла в 30°)
По теореме Пифагора:
ВD^2 = АВ^2 - АD^2 = 36 - 9 = 27
BD = корень из 27
Рассмотрим треугольник DBC
Треугольник DBC - прямоугольный
угол DBC = 90° - 45° = 45° (теорема об острых углах прямоугольного треугольника)
угол DCB = 45° (по условию)
Из двух предыдущих следует, что треугольник DBC - равнобедренный => DC = BD = корень из 27
По теореме Пифагора:
ВС^2 = DB^2 + DC^2 = 27 + 27 = 54
BC = корень из 54
Центр O вписанного в пирамиду шара лежит на CN так, что ON равно его радиусу. Из точки O проведем перпендикуляр на гипотенузу до точки M. OM также должен быть равен радиусу шара. Рассматривая это построение, нетрудно показать, что точка O делит высоту CN в отношении 1:2. Таким образом радиус вписанного шара равен 3 (9/3).
Объем шара (4/3)*π*3*3*3 = π*36 или примерно 3.14*36 = 113