В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a, а боковое ребро – b. Через сторону основания пирамиды под углом α к основанию проведена плоскость β, которая пересекает пирамиду. 1. Изобразите сечение пирамиды плоскостью β. 2. Обоснуйте положение угла α. 3. Найдите площадь сечения. 4. Сделайте анализ ответа относительно параметров задачи.
Объяснение:
АВСМ-правильная пирамида.
Пусть МН⊥АВ, тогда СН⊥АВ( как проекция наклонной МН) по т. о тре перпендикулярах. Тогда АВ ⊥МН и АВ⊥СН ⇒ АВ⊥(МНС) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Проведем в плоскости (МНС) отрезок НР⊥МС. Отрезок НР ⊥АВ и СН⊥АВ ,как лежащие в плоскости (МНС). Значит ∠РНС-линейный угол двугранного угла между плоскостями β (АВР) и ( АВС).
В сечении пирамиды плоскостью β получился ΔАВР -равнобедренный
° ΔАРН=ΔВРН как прямоугольные (РН⊥АВ), по 2-м катетам АН=НВ, НР-общий;
° Соответственные элементы в данных треугольниках равны ⇒АР=ВР.
S(ABP)=0,5*АВ*РН.
ΔВ НС , НС=а√3/2 по т. Пифагора.
Найдем РН из ΔРНС-прямоугольного сosα=HP/HC или сosα=HP/(а√3/2) или НР=(а√3*сosα)/2
S(ABP)=0,5*а*(а√3*сosα)/2
S(ABP)= .
4. Сделайте анализ ответа относительно параметров задачи. может лишнее условие (b)
ответ: r = 5*(4+√5)/11
Объяснение:
A,B,С - точки касания внутренних окружностей с внешней
O1,O2,O3 - центры внутренних окружностей
O-центр внешней окружности. (смотрите рисунок)
O1S- высота
r- радиус красной окружности
Из условий касания окружностей и симметрии имеем :
O1O=5-r
O1O2 =O1O3 = 2+r
O2S=O3S=2
OO2=OO3= 5-2 = 3
По теореме Пифагора:
OS = √(3^2- 2^2) = √5
O1S = 5+√5 -r
По теореме Пифагора:
(5+√5 -r)^2 = (2+r)^2 - 2^2
(2+r)^2 - (5+√5 -r)^2 = 4
(7+√5)*( -3-√5+2r) =4
-3-√5+2r = 4/(7+√5) = 4*(7-√5)/44 = (7-√5)/11
-33 - 11√5 +22r = 7-√5
22r = 40 +10√5
r = (20+5√5)/11 = 5*(4+√5)/11
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a, а боковое ребро – b. Через сторону основания пирамиды под углом α к основанию проведена плоскость β, которая пересекает пирамиду. 1. Изобразите сечение пирамиды плоскостью β. 2. Обоснуйте положение угла α. 3. Найдите площадь сечения. 4. Сделайте анализ ответа относительно параметров задачи.
Объяснение:
АВСМ-правильная пирамида.
Пусть МН⊥АВ, тогда СН⊥АВ( как проекция наклонной МН) по т. о тре перпендикулярах. Тогда АВ ⊥МН и АВ⊥СН ⇒ АВ⊥(МНС) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Проведем в плоскости (МНС) отрезок НР⊥МС. Отрезок НР ⊥АВ и СН⊥АВ ,как лежащие в плоскости (МНС). Значит ∠РНС-линейный угол двугранного угла между плоскостями β (АВР) и ( АВС).
В сечении пирамиды плоскостью β получился ΔАВР -равнобедренный
° ΔАРН=ΔВРН как прямоугольные (РН⊥АВ), по 2-м катетам АН=НВ, НР-общий;
° Соответственные элементы в данных треугольниках равны ⇒АР=ВР.
S(ABP)=0,5*АВ*РН.
ΔВ НС , НС=а√3/2 по т. Пифагора.
Найдем РН из ΔРНС-прямоугольного сosα=HP/HC или сosα=HP/(а√3/2) или НР=(а√3*сosα)/2
S(ABP)=0,5*а*(а√3*сosα)/2
S(ABP)=
.
4. Сделайте анализ ответа относительно параметров задачи. может лишнее условие (b)