BC = AD = 12; АB = CD - противолежащие стороны параллелограмма равны.
Найдем длины сторон AB и CD:
Углы ВAЕ и EAD равны, т.к. АЕ – биссектриса угла А; углы BЕА и ЕАD равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей АЕ. Значит, будут равны углы ВЕА и ВАЕ и поэтому треугольник АВЕ будет равнобедренным. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит АВ = ВЕ.
Пусть СЕ рано х см, тогда ВЕ – (3х) см. Их сумма равна (х + 3х) см или 12 см.
Обозначим сторону основания призмы как а, высоту призмы - h. Периметр боковой грани: P=2(a+h) ⇒ a+h=P/2=8 см. h=8-a. На рисунке АС1 - меньшая диагональ призмы. АА1С1С - прямоугольник. В треугольнике АВС ∠АВС=120°, как внутренний угол правильного шестиугольника. По теореме косинусов АС²=АВ²+ВС²-2АВ·ВС·cos120=a²+a²-2·a·a·(-0.5)=3a². В тр-ке АСС1 АС1²=d²=АС²+СС1²=3а²+(8-а)²=3а²+64-16а+а²=4а²-16а+64. Нам нужна диагональ наименьшего размера. Предположим, что d=0, тогда d²=4a²-16a+64=0, а²-4а+16=0, Дискриминант D=b²-4ac=16-4·16=-48, квадратное уравнение не решается. Чтобы решить квадратное уравнение с минимальным значением для диагонали, нужно привести уравнение к виду, когда дискриминант D=0, подогнав значение "с" в квадратном уравнении. У нас с=16, заменим на 4. а²-4а+4=0, D=16-4·4=0. а₁,₂=4/2=2. Сторона основания равна 2 см, высота h=8-a=6 cм. Площадь основания: Sосн=6·(a²√3/4)=3a²√3/2=3·4√3/2=6√3 см². Площадь боковой поверхности: Sбок=Рh=6ah=6·2·6=72 см². Полная поверхность: Sп=Sбок+2Sосн=72+2·6√3=12(6+√3) см² - это ответ1. Объём призмы: V=hSосн=6·6√3=36√3 см³ - это ответ2.
P ABCD = AB + BC + CD + AD
BC = AD = 12; АB = CD - противолежащие стороны параллелограмма равны.
Найдем длины сторон AB и CD:
Углы ВAЕ и EAD равны, т.к. АЕ – биссектриса угла А; углы BЕА и ЕАD равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей АЕ. Значит, будут равны углы ВЕА и ВАЕ и поэтому треугольник АВЕ будет равнобедренным. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит АВ = ВЕ.
Пусть СЕ рано х см, тогда ВЕ – (3х) см. Их сумма равна (х + 3х) см или 12 см.
х + 3х = 12;
4x =12;
x = 12 : 4;
x = 3 (см) – СЕ;
3х = 3 * 3 = 9 (см) – ВЕ.
АВ = СD = 9 cм.
P ABCD = 9 + 12 + 9 + 12 = 42 (cм).
ответ. 42 см.
Периметр боковой грани: P=2(a+h) ⇒ a+h=P/2=8 см.
h=8-a.
На рисунке АС1 - меньшая диагональ призмы. АА1С1С - прямоугольник.
В треугольнике АВС ∠АВС=120°, как внутренний угол правильного шестиугольника.
По теореме косинусов АС²=АВ²+ВС²-2АВ·ВС·cos120=a²+a²-2·a·a·(-0.5)=3a².
В тр-ке АСС1 АС1²=d²=АС²+СС1²=3а²+(8-а)²=3а²+64-16а+а²=4а²-16а+64.
Нам нужна диагональ наименьшего размера. Предположим, что d=0, тогда d²=4a²-16a+64=0,
а²-4а+16=0,
Дискриминант D=b²-4ac=16-4·16=-48, квадратное уравнение не решается. Чтобы решить квадратное уравнение с минимальным значением для диагонали, нужно привести уравнение к виду, когда дискриминант D=0, подогнав значение "с" в квадратном уравнении.
У нас с=16, заменим на 4.
а²-4а+4=0,
D=16-4·4=0.
а₁,₂=4/2=2.
Сторона основания равна 2 см, высота h=8-a=6 cм.
Площадь основания: Sосн=6·(a²√3/4)=3a²√3/2=3·4√3/2=6√3 см².
Площадь боковой поверхности: Sбок=Рh=6ah=6·2·6=72 см².
Полная поверхность: Sп=Sбок+2Sосн=72+2·6√3=12(6+√3) см² - это ответ1.
Объём призмы: V=hSосн=6·6√3=36√3 см³ - это ответ2.