Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3) Известно, что: R=a^2/sqr(4a^2-b^2) Подставив значение b, получим: R=a Отсюда: АВ=2 см Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда: r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
Обозначим О - точка пересечения биссектрисы и медианы. Пусть длина биссектрисы p, длина гипотенузы а, СО = q, обозначим так же за Ф половину угла С.
В силу того, что треугольник прямоугольный, медиана АМ равна половине основания, и треугольник СМА равнобедренный. Угол МАС = 2*Ф, поэтому угол МОС = 3*Ф, угол АМВ = 4*Ф.
Применим теорему синусов к треугольнику МОС
(a/2)/sin(3*Ф) = q/sin(pi - 4*Ф);
кроме того,
а*cos(2*Ф) = p*cos(Ф); (равно катету, который сторона угла ВАС)
Отсюда (просто делим одно на другое)
2*cos(2*Ф)*sin(3*Ф) = (p/q)*cos(Ф)*sin(4*Ф); поупрощаем немного
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
Обозначим О - точка пересечения биссектрисы и медианы. Пусть длина биссектрисы p, длина гипотенузы а, СО = q, обозначим так же за Ф половину угла С.
В силу того, что треугольник прямоугольный, медиана АМ равна половине основания, и треугольник СМА равнобедренный. Угол МАС = 2*Ф, поэтому угол МОС = 3*Ф, угол АМВ = 4*Ф.
Применим теорему синусов к треугольнику МОС
(a/2)/sin(3*Ф) = q/sin(pi - 4*Ф);
кроме того,
а*cos(2*Ф) = p*cos(Ф); (равно катету, который сторона угла ВАС)
Отсюда (просто делим одно на другое)
2*cos(2*Ф)*sin(3*Ф) = (p/q)*cos(Ф)*sin(4*Ф); поупрощаем немного
sin(3*Ф) = (p/q)*cos(Ф)*sin(2*Ф);
sin(Ф)*(3 - 4*(sin(Ф))^2) = (p/q)*2*(cos(Ф))^2*sin(Ф);
3 - 2*(1-cos(2*Ф)) = (p/q)*(1+cos(2*Ф));
cos(2*Ф) = (p/q - 1)/(2 - p/q); покольку угол ВСА и есть 2*Ф, то это ответ.
В случае, если p/q = 13/9 (так задано в условии),
cos(2*Ф) = 4/5;
а, ну да, надо тангенс... 3/4 будет тангенс...
треугольник подобен простейшему пифагоровому (со сторонами 3,4,5)
Если обозначить за d = q/(p - q); (то есть то самое отношение, которое по условию равно 9/4), то выражение для cos(2*Ф) можно привести к виду
cos(2*Ф) = 1/(d - 1);
что выглядит еще симпатичнее.