Найдите больший угол равнобедренной трапеции АВСД, если диагональ АС образует с основанием АД и боковой стороной АВ углы, равные 110 и 600 соответственно. ответ дайте в градусах.
Эта задача еще проще чем кажется :) и есть лишнее условие - длина стороны не понадобится (это понятно ДО решения - просто надо найти угол, который в правильной треугольной пирамиде образует грань с основанием, если задан угол между ребром и основанием, размеры пирамиды тут не причем).
Я сразу напишу решение, как оно возникает в голове :)
Правильная пирамида KPMH, KPM - основание, НО - высота. Проекция НМ на основание это ОМ, то есть радиус описанной окружности для треугольника КРМ. При этом ОН = ОМ, поскольку треугольник НОМ - прямоугольный с углом 45 градусов, то есть равнобедренный.
Пусть ОЕ перпендикуляр к РМ. Тогда МР перпендикулярно ОЕ и НО, и, следовательно, всей плоскости НОЕ, то есть НЕО - двугранный угол между плоскостями НРМ и КРМ.
С другой стороны, треугольник НОЕ - прямоугольный, и НО = ОМ = ОК = 2*ОЕ.
То есть тангенс искомого угла равен 2. (то есть угол НЕО = arctg2)
так как ВД высота и перпендиклярна АС, то получим прямоугольный треугольник ΔВМД, по теореме пифагора найдём сторону МД=√(ВМ²-ВД²)=√(5²-4²)=√9=3. Теперь найдём косинус угла MBD, по формуле, а=с*cosβ; 4=5*cosβ; cosβ=4/5=0.8, что равно примерно cos36⁰. Теперь можем найти ВМД, он же и ВМС, 90-36=54. cos54⁰ Так как ВД высота прямоугольного треугольника , то она делает треугольники, АВС, АВД и ВСД подобными (это значит что треугольники одинаковые, точнее углы у них одинаковые, а стороны в К раз меньше, ну типа сторона АВ в К раз меньше стороны ВД). (всёравно не получается, но может в случае нахождения одного из треугольников)
Эта задача еще проще чем кажется :) и есть лишнее условие - длина стороны не понадобится (это понятно ДО решения - просто надо найти угол, который в правильной треугольной пирамиде образует грань с основанием, если задан угол между ребром и основанием, размеры пирамиды тут не причем).
Я сразу напишу решение, как оно возникает в голове :)
Правильная пирамида KPMH, KPM - основание, НО - высота. Проекция НМ на основание это ОМ, то есть радиус описанной окружности для треугольника КРМ. При этом ОН = ОМ, поскольку треугольник НОМ - прямоугольный с углом 45 градусов, то есть равнобедренный.
Пусть ОЕ перпендикуляр к РМ. Тогда МР перпендикулярно ОЕ и НО, и, следовательно, всей плоскости НОЕ, то есть НЕО - двугранный угол между плоскостями НРМ и КРМ.
С другой стороны, треугольник НОЕ - прямоугольный, и НО = ОМ = ОК = 2*ОЕ.
То есть тангенс искомого угла равен 2. (то есть угол НЕО = arctg2)
Это все.
Ясно, что угол между КМР и НКР такой же :)
так как ВД высота и перпендиклярна АС, то получим прямоугольный треугольник ΔВМД, по теореме пифагора найдём сторону МД=√(ВМ²-ВД²)=√(5²-4²)=√9=3.
Теперь найдём косинус угла MBD, по формуле, а=с*cosβ; 4=5*cosβ; cosβ=4/5=0.8, что равно примерно cos36⁰. Теперь можем найти ВМД, он же и ВМС, 90-36=54. cos54⁰
Так как ВД высота прямоугольного треугольника , то она делает треугольники, АВС, АВД и ВСД подобными (это значит что треугольники одинаковые, точнее углы у них одинаковые, а стороны в К раз меньше, ну типа сторона АВ в К раз меньше стороны ВД).
(всёравно не получается, но может в случае нахождения одного из треугольников)