Навколо рівностороннього трикутника описане коло і в трикутник вписане коло. різниця площ кругів, обмежених цими колами, становить 16п см². знайдіть сторону трикутника.

Не трудно убедится, что B1 и C1 являются центрами вневписанных окружностей треугольников AA1Bи AA1C, значит A1B1 и A1C1 биссектрисы смежных углов BA1A и CA1A. Отсюда следует, что ∠B1A1C1=900. По условию две стороны этого прямоугольного треугольника равни 4 и 5, значит этот треугольник не может быть равнобоким треугольником.Отсюда следует что AB≠AC. Обозначим ∠ACB=γ,∠ABC=β. Пусть AC>AB⇒γ<β.Заметим, что 300<β<600⇒150<β2<300⇒ 2−3√<tgβ2<3√3∠AA1B=600+γ,∠AA1C=600+β⇒∠AA1C1=∠BA1C1=300+γ2,∠AA1B1=∠CA1B1=300+β2.∠A1B1A=900−β2,∠A1C1A=900−γ2.Согласно теореме синусов из треугольников A1B1A и A1C1A,получаем A1B1=AA13√2cosβ2,A1C1=AA13√2cosγ2. Ясно, что A1B1>A1C1. Отсюда A1B1cosβ2=A1C1cosγ2⇒A1B1cosβ2=A1C1cos(300−β2)⇒tgβ2=2A1B1−3√A1C1A1C11) Если A1B1=4,A1C1=3, то tgβ2=8−33√3>3√32) Если A1B1=5,A1C1=4, то tgβ2=10−43√4>3√3

Грань SCD и плоскость основания пирамиды пересекаются по прямой CD. Чтобы найти угол между этими плоскостями, рассмотрим треугольник SBC. Треугольник SBC -прямоугольный: SB перпендикулярна плоскости основания, а значит любой прямой, лежащей в плоскости основания, SB перпендикулярна BC. BC перпендикулярна CD, как стороны квадрата. SC- наклонная к плоскости основания перпендикулярна прямой CD по теореме о трех перпендикулярах-прямая (CD) проведенная в плоскости через основание наклонной(SC) перпендикулярно ее проекции (BC) на эту плоскость перпендикулярна и к самой наклонной.SC лежит в плокости грани SCD и перпендикулярна CD, BC лежит в плоскости основания и перпендикулярна CD , следовательно угол SCB -это угол между двумя плоскостями ABCD и SCD. Рассмотрим треугольник SBC  и из этого треугольника найдем  угол SCB.
Найдем сторону квадрата: 
BD²=2BC²,  (4√2)²=2BC², BC²= 16·2/2=16, BC=4
ИЗ треугольника SBD ( треугольник SBD прямоугольный так как SB перпендикулярно плоскости основания)   найдем SB:
SB²=SD²-BD²
SB²=(4√5)²-(4√2)²= 16·5-16·2=80-32=48, SB=√48=4√3.
Из треугольника SBC : tg∠SCB=SB/BC=4√3/4=√3
tg∠SCB=√3, ∠SCB=60 градусов