В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство:
Пусть в ΔАВС АВ > ВС. Докажем, что ∠С > ∠А.
Отложим на стороне АВ отрезок ВК = ВС. Так как АВ > ВС, то точка К будет лежать между точками А и В, тогда угол 1 будет частью угла С:
∠1 < ∠С.
∠2 - внешний для ΔАСК, а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Тогда ∠2 = ∠А + ∠АСК, т.е.
∠2 > ∠А.
И еще ∠1 = ∠2 как углы при основании равнобедренного треугольника ВСК. Получаем:
∠А < ∠2 < ∠C, значит
∠А < ∠С
Обратная теорема: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Пусть в треугольнике АВС ∠С > ∠A. Докажем, что АВ > ВС.
Предположим, что АВ < ВС. Тогда по доказанной теореме ∠С должен быть меньше ∠А. Это противоречит условию. Значит предположение неверно, АВ > ВС.
Надо разложить векторы p и q по координатным осям.
Пусть вектор p направлен по оси Ох, вектор q под углом 90 градусов.
Получим координаты: p = (10; 0), q = (0; 1)).
Переходим к векторам a и b.
a =3p + 2q = (3*10 + 2*0 ; 3*0 + 2*1) = (30; 2). Модуль |a| = √904.
b = p - q = (10 - 0; 0 - 1) = (10; -1). Модуль |b| = √101.
Большая диагональ d1 = a + b = (30 + 10; 2 - 1) = (40; 1).
Её длина |d1| = √(40² + 1²) = √1601 ≈ 40,0125
Меньшая диагональ d2 = a - b = (30 - 10; 2 + 1) = (20; 3).
Её длина |d2| = √(20² + 3²) = √409 ≈ 20,224.
Находим угол между диагоналями d1 (40; 1) и d2(20; 3).
По скалярному произведение векторов.
cos A = |40*20 + 1*3|/(√1601*√409) = 803/√654809 ≈ 0,99233.
Угол A = 0,1239 радиан или 7,099 градуса.
Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов a и b или через две диагонали и синус угла между ними.
Находим векторное произведение векторов a(30; 2) и b(10; -1).
i j k | i j
30 2 0 | 30 2
10 -1 0 | 10 -1 = 0i + 0j - 30k - 0j - 0i - 20k = -50.
Площадь по модулю равна 50 кв.ед.
По диагоналям:
S = (1/2)d1d2 sin γ = (1/2)*√1601 * √409 * sin 7,099° = (1/2)*100 = 50 кв.ед.
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство:
Пусть в ΔАВС АВ > ВС. Докажем, что ∠С > ∠А.
Отложим на стороне АВ отрезок ВК = ВС. Так как АВ > ВС, то точка К будет лежать между точками А и В, тогда угол 1 будет частью угла С:
∠1 < ∠С.
∠2 - внешний для ΔАСК, а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Тогда ∠2 = ∠А + ∠АСК, т.е.
∠2 > ∠А.
И еще ∠1 = ∠2 как углы при основании равнобедренного треугольника ВСК. Получаем:
∠А < ∠2 < ∠C, значит
∠А < ∠С
Обратная теорема: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Доказательство:
Пусть в треугольнике АВС ∠С > ∠A. Докажем, что АВ > ВС.
Предположим, что АВ < ВС. Тогда по доказанной теореме ∠С должен быть меньше ∠А. Это противоречит условию. Значит предположение неверно, АВ > ВС.
Надо разложить векторы p и q по координатным осям.
Пусть вектор p направлен по оси Ох, вектор q под углом 90 градусов.
Получим координаты: p = (10; 0), q = (0; 1)).
Переходим к векторам a и b.
a =3p + 2q = (3*10 + 2*0 ; 3*0 + 2*1) = (30; 2). Модуль |a| = √904.
b = p - q = (10 - 0; 0 - 1) = (10; -1). Модуль |b| = √101.
Большая диагональ d1 = a + b = (30 + 10; 2 - 1) = (40; 1).
Её длина |d1| = √(40² + 1²) = √1601 ≈ 40,0125
Меньшая диагональ d2 = a - b = (30 - 10; 2 + 1) = (20; 3).
Её длина |d2| = √(20² + 3²) = √409 ≈ 20,224.
Находим угол между диагоналями d1 (40; 1) и d2(20; 3).
По скалярному произведение векторов.
cos A = |40*20 + 1*3|/(√1601*√409) = 803/√654809 ≈ 0,99233.
Угол A = 0,1239 радиан или 7,099 градуса.
Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов a и b или через две диагонали и синус угла между ними.
Находим векторное произведение векторов a(30; 2) и b(10; -1).
i j k | i j
30 2 0 | 30 2
10 -1 0 | 10 -1 = 0i + 0j - 30k - 0j - 0i - 20k = -50.
Площадь по модулю равна 50 кв.ед.
По диагоналям:
S = (1/2)d1d2 sin γ = (1/2)*√1601 * √409 * sin 7,099° = (1/2)*100 = 50 кв.ед.