Дано: Правильна шестикутна піраміда, R = 5 см, α = 30°(α - бічні грані правильної шестикутної піраміди нахилені до основи під кутом α)
Знайти:
S - ?(площу бічної поверхні)
Розв'язання: Розглянемо правильний шестикутник ABCDEF. Проведемо відрізки OD і OE і розглянемо трикутник Δ DOE, який буде рівнобедренним тому, що OD = OE (OD = OE = 5см за умовою), як радіуси описаного кола.Позначимо середину відрізка DE у точці M і з вершини O проведемо відрізок OM - який буде медіаною. За умовою ∠HMO = α.За властивістю рівнобедренного трикутника медіана проведена до основи є бісектрисою і висотою, а так як OM⊥DE, то OM є радіусом вписаного кола.У правильного шестикутника 6 сторін, а отже шість центральних кутів, нехай центральний кут β, тоді ∠DOE = β, усі 6 центральних кутів утворють повне коло отже ∠DOE = β = = 60°.
Так як OM - бісектриса за властивістю рівнобедренного трикутника, то
∠DOM = ∠MOE = ∠DOE : 2 = 60° : 2 = 30°.OM є висотою, тоді
sin ∠MOE = ⇒ ME = OE * sin ∠MOE = 5 * 0,5 = 2,5 см.Так як за OM - медіана, то DE = 2DM = 2ME = 2 * 2,5 = 5 см.
cos ∠MOE = ⇒ MO = cos ∠MOE * OE = cos 30° * OE = =
Проведемо відрізок OH - який буде висотою за властивісью шестикутної піраміди.РозглянемоΔ MOH.
cos ∠MOH = cos α = ⇒ MH = .
За властивістю правильної піраміди усі її грані є рівними рівнобедренними трикутниками, отже Δ HDE - рівнобедренний.Проведемо відрізок HM - який є медіаною так як DM = ME, За властивістю рівнобедренного трикутника медіана проведена до основи є бісектрисою і висотою, отже .
1. Рассмотрим 3-ки NPM и RPQ:
<MNP = <PQR (по усл.)
NP = PQ (по усл.)
<NPM = <RPQ (вертикальные)
След-но,
тр. NPM = тр. RPQ (по стороне и двум прилежащим к ней углам)
21. Тр. CDE — равнобедренный (CD = DE)
значит,
<FCD = <HED
2. Рассмотрим 3-ки CFD и EHD:
CD = ED (по усл.)
<CDF = <EDH (по усл.)
<FCD = <HED (по доказанному)
След-но,
тр. CFD = тр EHD (по стороне и двум прилежащим углам)
31. Рассмотрим 3-ки QOR и POR:
RO — общая
<QOR = <POR (по усл.)
QO = PO(по усл.)
След-но,
тр QOR = тр POR (по двум сторонам и углу между ними)
41. <ВАС = <ВСА (по усл.), значит:
тр. АВС — равнобедренный (АВ = ВС)
2. <КАВ = 180 - <ВАС (смежные)
<NCB = 180 - <BCA (смежные)
т.к. <ВСА = <ВАС, то:
<КАВ = <NCB
3. Рассмотрим 3-ки КАВ и NCB:
KA=CN (по усл)
AB = BC (по доказанному)
<КАВ = <NCB(по доказанному)
След-но, тр. КАВ = тр NCB (по двум сторонам и углу между ними)
51. <А = <D (накрест лежащие при прямых АС и ЕD и секущей АD)
значит,
АС || ED
2. Т. к. АС || ED, то:
<С = <Е
3. <АВС = <DBE (вертикальные)
4. Рассмотрим 3-ки АВС и DBE:
Против равных углов лежат равные стороны, значит:
AB = BD
CB = BE
ED = AC
След-но,
тр АВС = тр DBE (по трем сторонам)
61. Рассмотрим 3-ки ADB и ВСD:
BD — общая
<АDB = <CBD (по усл)
<ABD = <BDC (по усл)
След-но,
тр ABD = тр BCD (по стороне и прилежащим к ней углам)
S бічної поверхні =
сантиметрів квадратних
Объяснение:
Дано: Правильна шестикутна піраміда, R = 5 см, α = 30°(α - бічні грані правильної шестикутної піраміди нахилені до основи під кутом α)
Знайти:
S - ?(площу бічної поверхні)
Розв'язання: Розглянемо правильний шестикутник ABCDEF. Проведемо відрізки OD і OE і розглянемо трикутник Δ DOE, який буде рівнобедренним тому, що OD = OE (OD = OE = 5см за умовою), як радіуси описаного кола.Позначимо середину відрізка DE у точці M і з вершини O проведемо відрізок OM - який буде медіаною. За умовою ∠HMO = α.За властивістю рівнобедренного трикутника медіана проведена до основи є бісектрисою і висотою, а так як OM⊥DE, то OM є радіусом вписаного кола.У правильного шестикутника 6 сторін, а отже шість центральних кутів, нехай центральний кут β, тоді ∠DOE = β, усі 6 центральних кутів утворють повне коло отже ∠DOE = β =
= 60°.
Так як OM - бісектриса за властивістю рівнобедренного трикутника, то
∠DOM = ∠MOE = ∠DOE : 2 = 60° : 2 = 30°.OM є висотою, тоді
sin ∠MOE =
⇒ ME = OE * sin ∠MOE = 5 * 0,5 = 2,5 см.Так як за OM - медіана, то DE = 2DM = 2ME = 2 * 2,5 = 5 см.
cos ∠MOE =
⇒ MO = cos ∠MOE * OE = cos 30° * OE =
= ![2,5\sqrt{3}](/tpl/images/1583/4285/b66c5.png)
Проведемо відрізок OH - який буде висотою за властивісью шестикутної піраміди.РозглянемоΔ MOH.
cos ∠MOH = cos α =
⇒ MH = ![\frac{OM}{cos \alpha } =](/tpl/images/1583/4285/a0a82.png)
.
За властивістю правильної піраміди усі її грані є рівними рівнобедренними трикутниками, отже Δ HDE - рівнобедренний.Проведемо відрізок HM - який є медіаною так як DM = ME, За властивістю рівнобедренного трикутника медіана проведена до основи є бісектрисою і висотою, отже
.
S бічної поверхні = 6 *
=
.