На стороне равностороннего треугольника как на диаметре построена полуокружность, пересекающая две другие стороны треугольника. Сделай рисунок. Соедини центр полуокружности с точками её пересечения со сторонами треугольника. Какие следствия из условия можно получить? Опираясь на них, докажи, что угловые меры образовавшихся дуг будут равны.

Пусть х - один из катетов, тогда y - второй катет. Используя теорему Пифагора, составим систему уравнений:

13=√(х²+у²)

13+2=√((х+4)²+у²)

13=√(х²+у²)

15=√((х+4)²+у²)

Возуведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

169=х²+у²

225=(х+4)²+у²

169=х²+у²

225=х²+8х+16+у²

Из первого уравнения выразим х:

169=х²+у²

х²=169-у²

х=√(169-у²)

Теперь подставим выражение √(169-у²) вместо х во второе уравнение:

225=х²+8х+16+у²

225=(√(169-у²))²+8(√(169-у²))+16+у²

225=169-у²+8√(169-у²)+16+у²

225-169-16=8√(169-у²)

40=8√(169-у²)

40:8=√(169-у²)

5=√(169-у²) - возведем обе части в квадрат.

25=169-у²

у²=169-25

у²=144

у=√144

у=12 см - первый катет.

Если у=12, то х=√(169-у²)=√(169-12²)=√(169-144)=√25=5 см - второй катет.

ответ: катеты равны 5 и 12 см.

Если расстояние от вершины прямого угла до плоскости гамма обозначить d, и a,b,c,h - катеты, гипотенуза и высота к гипотенузе прямоугольного треугольника, то синус искомого угла равен

Sin(Ф) = d/h;

При этом, очевидно,

d = a*sin(альфа) = b*sin(вета);

(то есть b = a*sin(альфа)/sin(вета))

c = корень(a^2 + b^2) = a*корень(1 + (sin(альфа)/sin(вета))^2)

h = a*b/c;

В результате все длины можно выразить через а (ну, или через b, если очень хочется) и заданные углы и подставить в выражение

Sin(Ф) = d/h = d*c/(a*b) = корень((sin(альфа))^2+(sin(вета))^2);