На стороне ав треугольника авс взята точка д так, что окружность, проходящая через точки а, с и д, касается прямой вс. найдите ад, если ас = 12, вс = 18, сд = 8.

Сделаем рисунок. 

Рассмотрим ∆ ВСД и ∆ ВСА. 

ВС - касательная, СД - хорда, ∠САД- вписанный. 

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами. 

Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую опирается. ⇒

 ∠ВСД=∠САВ - опираются на дугу СД. 

1) В ∆ ВСА и Δ ВСД угол В общий.⇒ Они подобны по равенству двух углов. 

Из подобия следует отношение АВ:18=СА:СД

АВ:18=12:8=3:2

2АВ=54

АВ=27

2) Если из одной точки  проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

ВС - касательная, ВА - секущая. ВД - внешняя часть секущей.--

ВА•ВД=ВС²

Пусть АД=х, тогда ВД=27-х

27•(27-х)=324

729-27х=324⇒

27х=405

АД=х=15 (ед. длины)