В решении этой задачи больше рассуждений, чем собственно вычислений. Из условия ясно, что, поскольку СВ=20=r,
а С - центр окружности,
то вершина В треугольника АВС лежит на окружности,
а А - внутри окружности, т.к. АС меньше радиуса. Из соотношения сторон треугольника АВС АС:ВС:АВ=15:20:25=3k:4k:5k (k=5) видно, что треугольник этот - египетский и потому - прямоугольный, с прямым углом С.
Сделаем рисунок.
Для того, чтобы треугольники АРС и ВРС были равновелики, они
при равных основаниях должны иметь равные высоты. АК=ВМ, РС - общее основание. Но при АК=ВМ прямые АВ и РМ должны быть параллельны;
получаем четырехугольник с равными параллельными сторонами АК=ВМ, равными углами при стороне РМ. Отсюда АКМВ - прямоугольник.
И АВ||КМ. Обратим внимание на то, что высота СН треугольника АВС равна высотам треугольников АРС и ВРС -
все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой параллельной прямой. Следовательно, расстояние РТ от точки Р до прямой АВ равно высоте СН треугольника АВС. Высоту СН найдем из площади треугольника АВС.
Т.к. треугольник, как мы выяснили, прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов. S =AC*BC:2=15*20:2=150
Но в то же время площадь равна половине произведения высоты СН на АВ: S= СН*АВ:2=150 CH=2S:АВ=300:25=12
РТ=СН=12 ответ: Расстояние от точки Р до прямой АВ=12
четырехугольник симметричен относительно высоты, проходящей через центр окружности (и трапеция тоже). Высота (трапеции) равна диаметру, то есть 6.
Площадь четырехугольника равна ПОЛУпроизведению диагоналей, то есть вторая диагональ, параллельная основаниям равна 12*2/6 = 4; половина её равна 2.
Рассмотрим треугольники, образованные 1. радиусом в точку касания боковой стороны, половиной только что вычисленной хорды и отрезком-частью вертикального диаметра, и 2. боковой стороной, высотой опущеной из вершины малого основания на большое и отрезком большого основания от вершины до этой высоты. Эти 2 прямоугольных треугольника имеют равный угол (угол между высотой и боковой стороной равен углу между радиусом и хордой в точке касания), так как стороны этих углов взаимно пепендикулярны. Значит треугольники подобны, и
а/6 = 3/2, а - боковая сторона. а = 9.
В трепеции вписана окружность, значит суммы противопложных сторон равны. Значит ПОЛУпериметр трапеции равен 2*9 =18.
В решении этой задачи больше рассуждений, чем собственно вычислений.
Из условия ясно, что, поскольку
СВ=20=r,
а С - центр окружности,
то вершина В треугольника АВС лежит на окружности,
а А - внутри окружности, т.к. АС меньше радиуса.
Из соотношения сторон треугольника АВС
АС:ВС:АВ=15:20:25=3k:4k:5k (k=5) видно, что треугольник этот - египетский и потому - прямоугольный, с прямым углом С.
Сделаем рисунок.
Для того, чтобы треугольники АРС и ВРС были равновелики, они
при равных основаниях должны иметь равные высоты.
АК=ВМ, РС - общее основание.
Но при АК=ВМ прямые АВ и РМ должны быть параллельны;
получаем четырехугольник с равными параллельными сторонами АК=ВМ, равными углами при стороне РМ. Отсюда АКМВ - прямоугольник.
И АВ||КМ.
Обратим внимание на то, что высота СН треугольника АВС равна высотам треугольников АРС и ВРС -
все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой параллельной прямой.
Следовательно, расстояние РТ от точки Р до прямой АВ равно высоте СН треугольника АВС.
Высоту СН найдем из площади треугольника АВС.
Т.к. треугольник, как мы выяснили, прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов.
S =AC*BC:2=15*20:2=150
Но в то же время площадь равна половине произведения высоты СН на АВ:
S= СН*АВ:2=150
CH=2S:АВ=300:25=12
РТ=СН=12
ответ: Расстояние от точки Р до прямой АВ=12
четырехугольник симметричен относительно высоты, проходящей через центр окружности (и трапеция тоже). Высота (трапеции) равна диаметру, то есть 6.
Площадь четырехугольника равна ПОЛУпроизведению диагоналей, то есть вторая диагональ, параллельная основаниям равна 12*2/6 = 4; половина её равна 2.
Рассмотрим треугольники, образованные 1. радиусом в точку касания боковой стороны, половиной только что вычисленной хорды и отрезком-частью вертикального диаметра, и 2. боковой стороной, высотой опущеной из вершины малого основания на большое и отрезком большого основания от вершины до этой высоты. Эти 2 прямоугольных треугольника имеют равный угол (угол между высотой и боковой стороной равен углу между радиусом и хордой в точке касания), так как стороны этих углов взаимно пепендикулярны. Значит треугольники подобны, и
а/6 = 3/2, а - боковая сторона. а = 9.
В трепеции вписана окружность, значит суммы противопложных сторон равны. Значит ПОЛУпериметр трапеции равен 2*9 =18.
А площадь равна 18*3 = 54;