На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки M и N соответственно так, что лучи AM и AN делят угол BAD на три равные части. ME — высота треугольника MAN. Найдите угол EDA.
Первое, что нетрудно доказывается, --- треугольник АВК прямоугольный. Площадь прямоугольного треугольника = половине произведения катетов))) гипотенуза АВ = 4 --это очевидно из получившейся трапеции... а чтобы найти катеты не хватает известных углов))) на рисунке есть два равных треугольника: треугольник АВК равен половине равнобедренного треугольника с боковыми сторонами 4 ---по гипотенузе и острому углу))) из этого очевидно: АК = 2*КВ по т.Пифагора 4х² + х² = 16 ---> 5x² = 16 S(ABK) = (1/2)*x*2x = x² = 16/5 = 3.2
Пусть основания ВС и AD. Обозначим точку пересечения диагоналей - точку О. Проведем высоту через точку пересечения диагоналей. Высота делит основания равнобедренной трапеции пополам. Пусть отрезок высоты в треугольнике ВОС равен х, а отрезок высоты в треугольнике AOD равен (h-x). BC/2=x·tg((180°-α)/2) AD/2=(h-x)· tg((180°-α)/2)
Площадь прямоугольного треугольника = половине произведения катетов)))
гипотенуза АВ = 4 --это очевидно из получившейся трапеции...
а чтобы найти катеты не хватает известных углов)))
на рисунке есть два равных треугольника:
треугольник АВК равен половине равнобедренного треугольника с боковыми сторонами 4 ---по гипотенузе и острому углу)))
из этого очевидно: АК = 2*КВ
по т.Пифагора
4х² + х² = 16 ---> 5x² = 16
S(ABK) = (1/2)*x*2x = x² = 16/5 = 3.2
Проведем высоту через точку пересечения диагоналей.
Высота делит основания равнобедренной трапеции пополам.
Пусть отрезок высоты в треугольнике ВОС равен х, а отрезок высоты в треугольнике AOD равен (h-x).
BC/2=x·tg((180°-α)/2)
AD/2=(h-x)· tg((180°-α)/2)
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
MN=(BC+AD)/2=(BC/2)+(AD/2)=x·tg((180°-α)/2) +(h-x)· tg((180°-α)/2) =
=tg((180°-α)/2)(x+h-x)=h·tg((180°-α)/2)=h·tg(90°-(α/2))