На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD расположены точки N и M соответственно, причём AN : NB = 3 : 2, BM : MC = 2 : 5. Прямые AM и DN пересекаются в точке O. Найдите отношения OM : OA и ON : OD.
Окружность с центром О₁ касается стороны угла АВ в точке Е, радиус окружности О₁Е=О₁К=39. Окружность с центром О₂ касается стороны угла АВ в точке Д, радиус окружности О₂Д=О₂К=42. Т.к. касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания, то О₁Е ⊥АЕ, О₂Д⊥АД, О₁К⊥ВС и О₂К⊥ВС. Рассмотрим ΔО₁ЕВ иΔО₁КВ они равны по трем сторонам (О₁Е=О₁К как радиусы, ЕВ=КВ как отрезки касательных из одной точки, О₁В - общая). Значит <ЕВО₁=<КВО₁, тогда О₁В - биссектриса <ЕВК. Аналогично доказывается, что О₂В - биссектриса <ДВК <ЕВК.и <ДВК - смежные, а биссектрисы смежных углов, пересекаются под прямым углом, значит <О₁ВО₂=90°. В прямоугольном ΔО₁ВО₂ ВК является высотой, опущенной из прямого угла на гипотенузу: ВК=√О₁К*О₂К=√39*42=√1638=3√182 ΔАВС - равнобедренный (АВ=АС): АК является высотой, медианой и биссектрисой. Основание ВС=2ВК=6√182 Получается, что окружность с центром О₁ вписана в ΔАВС. Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник О₁К=ВС/2*√(2АВ-ВС)/(2АВ+ВС) Подставляем данные: 39=6√182/2 * √(2АВ-6√182)/(2АВ+6√182) (2АВ-6√182)/(2АВ+6√182)=(13/√182)² 182(2АВ-6√182)=169(2АВ+6√182) 26АВ=2106√182 АВ=81√182 АК=√(АВ²-ВК²)=√((81√182)²-(3√182)²)=√78*84*182=1092 Площадь ΔАВС: Sавс=АК*ВС/2=АК*ВК=1092*3√182=3276√182 Радиус описанной окружности R=АВ²*ВС/4Sавс=(81√182)²*6√182 / 4*3276√182=2187/4=546,75 ответ: 546,75
Диагональ АС делит параллелограмм АВСД на два равных треугольника АВС и АДС, значит их площади равны: Sавc=Sадс По условию Sмвс=Sамсn=Scnд Значит Sавс=Sмвс+Sамсn/2=Sмвс+Sмвс/2=3Sмвс/2 или Sавс/Sмвс=3/2 ΔАВС и ΔМВС имеют одинаковые высоты, опущенные из вершины С, значит отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты) Sавс/Sмвс=АВ/МВ=3/2 АВ=3МВ/2 АМ=АВ-МВ=3МВ/2-МВ=МВ/2 АМ/АВ=МВ/2 / 3МВ/2=1/3 Аналогично рассматриваем ΔСАД и ΔСNД: Sсад/Scnд=3/2, АN/АД=1/3. Получается, что ΔАМN подобен ΔАВД по 2 пропорциональным сторонам и углу между ними (угол А- общий). Значит АМ/АВ=АN/АД=МN/ВД=1/3 МN=ВД/3=d/3
Окружность с центром О₂ касается стороны угла АВ в точке Д, радиус окружности О₂Д=О₂К=42.
Т.к. касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания, то О₁Е ⊥АЕ, О₂Д⊥АД, О₁К⊥ВС и О₂К⊥ВС.
Рассмотрим ΔО₁ЕВ иΔО₁КВ они равны по трем сторонам (О₁Е=О₁К как радиусы, ЕВ=КВ как отрезки касательных из одной точки, О₁В - общая). Значит <ЕВО₁=<КВО₁, тогда О₁В - биссектриса <ЕВК.
Аналогично доказывается, что О₂В - биссектриса <ДВК
<ЕВК.и <ДВК - смежные, а биссектрисы смежных углов, пересекаются под прямым углом, значит <О₁ВО₂=90°.
В прямоугольном ΔО₁ВО₂ ВК является высотой, опущенной из прямого угла на гипотенузу: ВК=√О₁К*О₂К=√39*42=√1638=3√182
ΔАВС - равнобедренный (АВ=АС): АК является высотой, медианой и биссектрисой. Основание ВС=2ВК=6√182
Получается, что окружность с центром О₁ вписана в ΔАВС.
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник
О₁К=ВС/2*√(2АВ-ВС)/(2АВ+ВС)
Подставляем данные:
39=6√182/2 * √(2АВ-6√182)/(2АВ+6√182)
(2АВ-6√182)/(2АВ+6√182)=(13/√182)²
182(2АВ-6√182)=169(2АВ+6√182)
26АВ=2106√182
АВ=81√182
АК=√(АВ²-ВК²)=√((81√182)²-(3√182)²)=√78*84*182=1092
Площадь ΔАВС:
Sавс=АК*ВС/2=АК*ВК=1092*3√182=3276√182
Радиус описанной окружности
R=АВ²*ВС/4Sавс=(81√182)²*6√182 / 4*3276√182=2187/4=546,75
ответ: 546,75
Sавc=Sадс
По условию Sмвс=Sамсn=Scnд
Значит Sавс=Sмвс+Sамсn/2=Sмвс+Sмвс/2=3Sмвс/2 или Sавс/Sмвс=3/2
ΔАВС и ΔМВС имеют одинаковые высоты, опущенные из вершины С, значит отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты) Sавс/Sмвс=АВ/МВ=3/2
АВ=3МВ/2
АМ=АВ-МВ=3МВ/2-МВ=МВ/2
АМ/АВ=МВ/2 / 3МВ/2=1/3
Аналогично рассматриваем ΔСАД и ΔСNД: Sсад/Scnд=3/2, АN/АД=1/3.
Получается, что ΔАМN подобен ΔАВД по 2 пропорциональным сторонам и углу между ними (угол А- общий).
Значит АМ/АВ=АN/АД=МN/ВД=1/3
МN=ВД/3=d/3