На средней линии трапеции mnpo с основаниями np и mo выбрали произвольную точку d докажите что сумма площадей треугольник mdn и pod равна половине площади трапеции
Пусть в треугольнике ABCравны углы A и C. Обозначим через M середину AC. Восстановим перпендикуляр p к отрезку AC в точке M. Если точка B лежит на этом перпендикуляре, то мы получаем, что равенство треугольников AMB и CMB по первому признаку (AM=MC, сторона MB — общая, ∠AMB=∠CMB=90°), а вместе с этим равенством мы имеем AB=BC. Пусть теперь точка B не лежит на перпендикуляре p. Тогда, без ограничения общности, мы можем считать, что p пересекает сторону AB в точке D. Аналогично получаем равенство треугольников AMD и CMD. Поэтому ∠A=∠DCA=∠C(последнее равенство следует из условия). Но ∠DCA<∠C, поскольку точка D лежит внутри отрезка AB. Мы получили противоречие. Значит, точка Bлежит на перпендикуляре p и AB=BC.
p= (AB+BC+AC)/2 =18
H= 2√[p(p-AB)(p-BC)(p-AC)]/AC =
= 2√(18*6*8*4)/14 = 24√6/7
В треугольниках BAK1, BCM1 биссектриса является высотой => т. равнобедренные.
CB=CM1
AB=AK1
M1K1= AC-(AC-AK1)-(AC-CM1) = AB+CB-AC = 8
SBK1M1= M1K1*H /2 =4*24√6/7
В равнобедренных т. биссектриса является также медианой => MK соединяет середины BM1 и BK1 => MK - средняя линия BK1M1.
Площадь треугольника, отсекаемого средней линией, равна 1/4 площади исходного.
SBKM = SBK1M1 /4 = 24√6/7 (~8,4)