На рисунку точки А. В. З точки дотику кола з центром до сторін різностороннього трикутника KMN, якому відрізку дорівнює CN?​

По свойству острого угла прямоугольного треугольника найдем половину одной из диагоналей из которой потом найдем и другую диагональ.
Так как у ромба углы делятся диагоналями то острые углы в образовавшихся прямоугольных треугольниках будут равны 30 градусов. А по свойству прямоугольно треугольника катет лежащий напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы. Гипотенуза у нас сторона ромба.
Найдем этот катет 1/2 35 = 17.5  первый катет и соответственно одна из полу диагоналей.
17.5*2 = 35 см будет полная диагональ, одну нашли.
Найдем вторую через значение первого катета
По теореме пифагора
35^2-17.5^2=918.75 под корнем
это полу диагональ, найдем целиком диагональ
918.75 под корнем * 2 = 2 под корнем 918.75
Какая же диагональ будет наименьшей? тут и так понятно но можно посчитать возведя числа в квадрат
35^2=1225
2 под корнем 918.75 все в квадрате равно = 4*918.75 = 3675.
Значит наименьшая диагональ равна 35 см.

Полная  поверхность  s=2*pi*R^2+2piRh   h=(S/2 -pi*R^2)/pi*R    V=pi*R^2*h=pi*R^2(s/2-pi*R^2)/(pi*R)=R *s/2-pi*R^3  Для нахождения максимума функции обьема найдем  нули производную  V '=S/2-2*pi*R^2=0   s/2=2*pi*R^2 откуда R=+-sqrt(s/4pi)  расставив  корни производной на числовой оси можно убедится  что в точке  sqrt(s/4*pi)  она  меняет знак  с + на - ,тогда  в этом случае обьем будет наибольший то  есть R=sqrt(s/4*pi)=sqrt(25/pi)=5/sqrt(pi)  h=(100/2-pi*25/pi)/pi*5/sqrt(pi)=25/(5*sqrt(pi))=5/sqrt(pi)  ответ:R=h=5/sqrt(pi)