№1
Дано:
Окружность с центром в точке O
Хорды - AB, BC
Угол AOB=Угол BOC
Доказать:
Угол OCB=Угол OAB
1)Т.к Угол AOB=Угол BOC, то и дуги которые они отсекают равны:
Дуга AB = Дуга BC.
2)Хорды соединяющие равны дуги - равны:
AB = BC
3)Т.к OC, OB и OA - радиусы, то они равны:
OA=OB=OC
Значит:
Треугольник OBC = Треугольник OBA (3 условие равности треугольников (по трём равным сторонам)):
OA=OC; AB=BC; OB - общая сторона.
4)Т.к треугольники равны, то все стороны и углы в них соответственно равны. Из этого можно взять равенство углов OCB и OAB.
Ч.Т.Д
№2
Окружность с центром в точке О
Хорды - AB,BC
AB=BC
Угол ABO=Угол CBO
1)Так как точки A,B и C лежат на окружности, то отрезки AO, BO и CO равны, так как это радиусы окружности.
AO=BO=CO
Треугольник ABO=Треугольник CBO(по трём равным сторонам):
AO=OC; OB - общая. AB=BC (Из условия)
2)Т.к треугольники равны, то все стороны и углы в них соответственно равны. Из этого можно взять равенство углов ABO и CBO.
cos(ABC)>0 => △ABC - остроугольный
Отрезок AC виден из точек P и K под прямым углом
=> APKC - вписанный => ∠BPK=∠BCA => PK антипараллельна AC
Аналогично KM и MP.
(Доказали: стороны остроугольного треугольника антипараллельны сторонам ортотреугольника.)
=> △ABC~△KBP~△AMP~△KMC
cos(ABC) =BP/BC =6/10 =3/5
BP=3x, BC=5x, AP=2x
CP=√(BC^2-BP^2)=4x
AC=√(AP^2+CP^2)=√(4+16)x =2√5x
BM - высота и медиана, AM=AC/2=√5x
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.
S(KBP)/S(ABC) =(BP/AB)^2 =(3/5)^2 =9/25
S(AMP)/S(ABC) =(AM/AB)^2 =(√5/5)^2 =5/25
Понятно, что △AMP=△KMC
S(KMP) =S(ABC)-S(KBP)-2(AMP) =(25-9-10)/25 S(ABC) =6/25 S(ABC) =12
=> S(ABC) =12*25/6 =50
№1
Дано:
Окружность с центром в точке O
Хорды - AB, BC
Угол AOB=Угол BOC
Доказать:
Угол OCB=Угол OAB
1)Т.к Угол AOB=Угол BOC, то и дуги которые они отсекают равны:
Дуга AB = Дуга BC.
2)Хорды соединяющие равны дуги - равны:
AB = BC
3)Т.к OC, OB и OA - радиусы, то они равны:
OA=OB=OC
Значит:
Треугольник OBC = Треугольник OBA (3 условие равности треугольников (по трём равным сторонам)):
OA=OC; AB=BC; OB - общая сторона.
4)Т.к треугольники равны, то все стороны и углы в них соответственно равны. Из этого можно взять равенство углов OCB и OAB.
Ч.Т.Д
№2
Дано:
Окружность с центром в точке О
Хорды - AB,BC
AB=BC
Доказать:
Угол ABO=Угол CBO
1)Так как точки A,B и C лежат на окружности, то отрезки AO, BO и CO равны, так как это радиусы окружности.
AO=BO=CO
Значит:
Треугольник ABO=Треугольник CBO(по трём равным сторонам):
AO=OC; OB - общая. AB=BC (Из условия)
2)Т.к треугольники равны, то все стороны и углы в них соответственно равны. Из этого можно взять равенство углов ABO и CBO.
Ч.Т.Д
cos(ABC)>0 => △ABC - остроугольный
Отрезок AC виден из точек P и K под прямым углом
=> APKC - вписанный => ∠BPK=∠BCA => PK антипараллельна AC
Аналогично KM и MP.
(Доказали: стороны остроугольного треугольника антипараллельны сторонам ортотреугольника.)
=> △ABC~△KBP~△AMP~△KMC
cos(ABC) =BP/BC =6/10 =3/5
BP=3x, BC=5x, AP=2x
CP=√(BC^2-BP^2)=4x
AC=√(AP^2+CP^2)=√(4+16)x =2√5x
BM - высота и медиана, AM=AC/2=√5x
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.
S(KBP)/S(ABC) =(BP/AB)^2 =(3/5)^2 =9/25
S(AMP)/S(ABC) =(AM/AB)^2 =(√5/5)^2 =5/25
Понятно, что △AMP=△KMC
S(KMP) =S(ABC)-S(KBP)-2(AMP) =(25-9-10)/25 S(ABC) =6/25 S(ABC) =12
=> S(ABC) =12*25/6 =50