На рисунке АО=ОС Угол АОD= углу СОD. Докажите, что треугольник АВD = треугольнику СОD
​

1) диагонали трапеции пересекаются под прямым углом.
Неверно. Они могут пересекаться под прямы углом как частный случай. 
2) В любой четырехугольник можно вписать окружность.
 Неверно. Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
3) Центр окружности, описанной около треугольника, находится в точке пересечении его высот.
Неверно. Центр описанной около треугольника окружности - точка пересечения его срединных перпендикуляров. Срединные перпендикуляры не равны высотам, если это не равносторонний треугольник.  
4) Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
 Верно. 
5) Диагонали ромба равны.
Неверно. Это утверждение верно, только если этот ромб еще и квадрат. 

Сторона равностороннего треугольника  А3= R√3(через радиус описанной окружности).                                                                                                         Значит, А3= 10√3*√3= 30. Сторона равностороннего треугольника А3 = 2r√3 (через радиус вписанной окружности).
Выражаем радиус вписанной окружности:                                                                                                                   r = А3 / 2√3 r = 30 / 2√3 = 15/√3= 15√3/ 3 = 5√3
ответ: радиус вписанной окружности равен 5√3.