На рисунке AB=CD и BD=AC. Найти угол CDA, если известно, что
Угол ADB = 40°, угол DBA =58°, 
BAD=82°

Треугольник ABD — равнобедренный, т.к. его биссектриса BF является высотой Поэтому

AF = FD    SAFE = SDFE = 5.

Кроме того BC = 2BD = 2AB. Тогда по свойству биссектрисы треугольника

  = 2.

Следовательно,

SDEC = 2SADE = 4SDEF = 20, SADC = 30.

Значит,

SABC = 2SADC = 60.

Треугольник ABD — равнобедренный, т.к. его биссектриса BF является высотой. Поэтому

AF = FD    SAFE = SDFE = 5.

Кроме того, BC = 2BD = 2AB. Тогда по свойству биссектрисы треугольника

 =  2.

Следовательно,

SDEC = 2SADE = 4SDEF = 20, SADC = 30.

Значит,

SABC = 2SADC = 60.

Треугольник ABD — равнобедренный, т.к. его биссектриса BF является высотой. Поэтому

AF = FD    SAFE = SDFE = 5.

Кроме того, BC = 2BD = 2AB. Тогда по свойству биссектрисы треугольника

 =  = 2.

Следовательно,

SDEC = 2SADE = 4SDEF = 20, SADC = 30.

Значит,

SABC = 2SADC = 60

AC = 12 см, AD/DC = 3/1  ⇒  AD = (3/4)•АС = 9 см, DC = 12 - 9 = 3 см

Пусть М и К - это точки касания вписанных окружностей в ΔАВD и ΔBDC соответственно, тогда по известной теореме про значения отрезков касательных:

Отрезок касательной равен разности полупериметра треугольника и противолежащей ей стороны

MD = p₁ - AB   и   KD = p₂ - BC

p₁ и р₂ - это полупериметры ΔABD и ΔBDC соответственно

Искомое рассстояние MK = MD - KD = p₁ - AB - (p₂ - BC) = p₁ - p₂ + BC - AB = (1/2)•(AB + AD + BD) - (1/2)•(BD + BC + DC) + ВС - АВ =  (1/2)•(AD + BC - DC - AB) = (1/2)•(9 + 8 - 3 - 7) = (1/2)•7 = 3,5

Значит, МК = 3,5 см

ответ: 3,5 см