) ABCDA1B1C1D1 - прямая призма, основание - ромб ABCD; ∠BAD = 60°; H = AA1 = 10 AB = BC = CD = AD = a; P = 4a = S(бок) /H = 24; a = 6 треугольники ABD и BCD - равносторонние S(сеч) = S(BDD1B1) = BD·H = 6·10 = 60 (см²) 2) Если все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания (прямоугольный треугольник ABC, ∠B = 90) под одинаковым углом (90 - 45 = 45), то около основания такой пирамиды можно описать окружность, а высота, опущенная из вершины на основание, падает в центр (точка O, лежит на середине гипотенузы) описанной около основания окружности. AC = 2·4·tg(45) = 8 BC = AC·cos(30) = 4√3 AB = AC·sin(30) = 4 OH⊥AB; OH = BC/2 = 2√3 OK⊥BC; OK = AB/2 = 2 DH = √(OD² + OH²) = 2√7 DK = √(OD² + OK²) = 2√5 S(бок) = (1/2)(8·4 + (2√7)·4 + (2√5)·(4√3)) = 4(4 + √7 + √15) (см²) надеюсь
Точка М равноудалена от сторон ромба, следовательно, проецируется в точку пересечения диагоналей ромба.
Расстояние от М до сторон равно длине отрезка МК, проведенного перпендикулярно к стороне ромба. Проекции этого отрезка равна радиусу вписанной в ромб окружности, который, проведенный в точку касания К со стороной ромба перпендикулярен ей.
Диаметр вписанной в ромб окружности равен высоте ромба.
а) Для стороны ромба:
Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны.
4 АВ²= 16²+12²=256+144=400
АВ²=100 ⇒ АВ=√100=10.
б) Для высоты ромба:
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
S=12•16:2=96 см²
Площадь ромба равна произведению высоты на его сторону:
S=h•a; 96=h•10; h=9,6 ⇒ r=9,6:2=4,8 см
Из прямоугольного ∆ МОК искомое расстояние
МО=√(MK²-OK²)=√(64-23,04)=6,4 см
* * *
Формула объема шарового сектора V=•πR²•h, где h - высота шарового сегмента с той же дугой в осевом сечении шара.
На рисунке приложения это КН.
∆ АОВ - прямоугольный, т.к. дуга АВ=90°
КО=АО•sin45° см
KH=R-OK=9-4,5√2=2,636 см²
V=•π•81•2,636=142,346π см³
* * *
Пусть вершина конуса М, его высота МО, радиус ОА=5 см, хорда АВ - основание сечения, его высота НМ=6 см является расстоянием от хорды до вершины конуса М.
Угол, под которым плоскость пересекает плоскость основания конуса - угол между двумя проведенными перпедикулярно к АВ лучами МН и ОН.
Тогда ∆ МОН - прямоугольный равнобедренный, НО=МО=МН•sin45°
AB = BC = CD = AD = a; P = 4a = S(бок) /H = 24; a = 6
треугольники ABD и BCD - равносторонние
S(сеч) = S(BDD1B1) = BD·H = 6·10 = 60 (см²)
2) Если все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания (прямоугольный треугольник ABC, ∠B = 90) под одинаковым углом (90 - 45 = 45), то около основания такой пирамиды можно описать окружность, а высота, опущенная из вершины на основание, падает в центр (точка O, лежит на середине гипотенузы) описанной около основания окружности.
AC = 2·4·tg(45) = 8
BC = AC·cos(30) = 4√3
AB = AC·sin(30) = 4
OH⊥AB; OH = BC/2 = 2√3
OK⊥BC; OK = AB/2 = 2
DH = √(OD² + OH²) = 2√7
DK = √(OD² + OK²) = 2√5
S(бок) = (1/2)(8·4 + (2√7)·4 + (2√5)·(4√3)) = 4(4 + √7 + √15) (см²) надеюсь
Точка М равноудалена от сторон ромба, следовательно, проецируется в точку пересечения диагоналей ромба.
Расстояние от М до сторон равно длине отрезка МК, проведенного перпендикулярно к стороне ромба. Проекции этого отрезка равна радиусу вписанной в ромб окружности, который, проведенный в точку касания К со стороной ромба перпендикулярен ей.
Диаметр вписанной в ромб окружности равен высоте ромба.
а) Для стороны ромба:
Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны.
4 АВ²= 16²+12²=256+144=400
АВ²=100 ⇒ АВ=√100=10.
б) Для высоты ромба:
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
S=12•16:2=96 см²
Площадь ромба равна произведению высоты на его сторону:
S=h•a; 96=h•10; h=9,6 ⇒ r=9,6:2=4,8 см
Из прямоугольного ∆ МОК искомое расстояние
МО=√(MK²-OK²)=√(64-23,04)=6,4 см
* * *
Формула объема шарового сектора V=
•πR²•h, где h - высота шарового сегмента с той же дугой в осевом сечении шара.
На рисунке приложения это КН.
∆ АОВ - прямоугольный, т.к. дуга АВ=90°
КО=АО•sin45°
см
KH=R-OK=9-4,5√2=2,636 см²
V=
•π•81•2,636=142,346π см³
* * *
Пусть вершина конуса М, его высота МО, радиус ОА=5 см, хорда АВ - основание сечения, его высота НМ=6 см является расстоянием от хорды до вершины конуса М.
Угол, под которым плоскость пересекает плоскость основания конуса - угол между двумя проведенными перпедикулярно к АВ лучами МН и ОН.
Тогда ∆ МОН - прямоугольный равнобедренный, НО=МО=МН•sin45°
V=S•h=πr²•h
V=π•25•3√2):3=π•25√2 см³