на рисунке 7.9 изображён прямоугольник ABCD на сторонах которого внутреннего построены равные равнобедренные треугольники треугольник ABM равен треугольнику cdb и треугольник bdc равен треугольнику adc Докажите что четырехугольник mnpq ромб
Задача 2. Т.к. BM - биссектриса, то ∠CBM=∠MBA Рассмотрим ΔABC: ∠C=90° (по усл), ∠A=30° (по усл) ⇒ ∠B = 180° - (90°+30°)=60°⇒ ∠CBM=∠MBA=1/2∠B=30° Рассмотрим ΔAMB: ∠MAB = ∠ABM ⇒ треугольник равнобедренный ⇒ MA=MB=6 см Рассмотрим ΔCMB: ∠C=90°, ∠MBC=30°. Вспоминаем, что катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы ⇒MC = 1/2 MB = 3 см AC = AM + MC = 6 см + 3 см = 9 см
1.Пусть одна сторона равна х, тогда другая 6х. У параллелограмма противолежащие стороны равны. Сумма сторон равна 84. Тогда составим уравнение
х+х+6х+6х=84
14х=84
х=84:14
х=6
Тогда 6х=6×6=36
Проверка: 6+6+36+36=84
ответ: 6; 6; 36; 36
2.В прямоугольнике противоположные стороны равны. Значит ВС=АD=18см
BD и АС являются диагоналями прямоугольника ABCD.
Диагонали в прямоугольнике равны, т.е BD=АС=22см
О-точка пересечения диагоналей, которая делит их пополам. Значит ОD=ОА=ОВ=ОС=1/2 BD=11см
Рboc=ОB+ОC+ВC
Рboc=11+11+18=40см
3.диагонали ромба являются биссектрисами его углов (то есть делят их пополам);
сумма соседних углов ромба равна 180°;
противоположные углы ромба равны
4.Диагональ АС делит параллелограмм на 2 подобных треугольника. Углы NAB=PCD, угол ABN=CDP и следовательно углы BNA= СPD, отсюда следует что прямоугольники ABN и CDP также подобны. Следовательно прямые BN и PD равны между собой. Что и требовалось доказать
5.Примем коэффициент отношения AF:FD=a. Тогда AF=a, FD=5a. Их сумма 6а=18 см, ⇒ а=18:6=3 см. Отрезок АF=3 см, отрезок FD=5•3=15 см АВСD - параллелограмм. ВС║AD, CF – секущая. ∠ВСF=∠СFD как накрестлежащие. Но ∠FCD=∠BCF (СF – биссектриса) ⇒ ∠CFD=∠FCD . Углы при основании FC треугольника FDC равны, следовательно, он равнобедренный и CD=FD=15 см ( свойство). Запомним: Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Противоположные стороны параллелограмма равны, ⇒ АВ=CD=15 см. Периметр =сумма всех сторон АВСD. Р=2•(18+15)=66 см
∠BMC = ∠EMD = 70° (вертикальные углы).
Рассмотрим четырехугольник AEMD:
∠BAC = 360° - (∠AEM + ∠ADM +∠EMD) (сумма углов четырехугольника = 360°)
т.к. BD и CE - высоты (по усл) , то ∠AEM = ∠MDA = 90°.
Найдем ∠BAC:
∠BAC = 360° - (90° + 90° + 70°) = 110°
∠ABC = 180° - (∠ACB + ∠BAC) (сумма углов треугольника = 180°)
∠ABC = 180° - (45° + 110°) = 25°.
ответ: 25°
Задача 2.
Т.к. BM - биссектриса, то ∠CBM=∠MBA
Рассмотрим ΔABC: ∠C=90° (по усл), ∠A=30° (по усл) ⇒
∠B = 180° - (90°+30°)=60°⇒ ∠CBM=∠MBA=1/2∠B=30°
Рассмотрим ΔAMB: ∠MAB = ∠ABM ⇒ треугольник равнобедренный ⇒ MA=MB=6 см
Рассмотрим ΔCMB: ∠C=90°, ∠MBC=30°. Вспоминаем, что катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы ⇒MC = 1/2 MB = 3 см
AC = AM + MC = 6 см + 3 см = 9 см
1.Пусть одна сторона равна х, тогда другая 6х. У параллелограмма противолежащие стороны равны. Сумма сторон равна 84. Тогда составим уравнение
х+х+6х+6х=84
14х=84
х=84:14
х=6
Тогда 6х=6×6=36
Проверка: 6+6+36+36=84
ответ: 6; 6; 36; 36
2.В прямоугольнике противоположные стороны равны. Значит ВС=АD=18см
BD и АС являются диагоналями прямоугольника ABCD.
Диагонали в прямоугольнике равны, т.е BD=АС=22см
О-точка пересечения диагоналей, которая делит их пополам. Значит ОD=ОА=ОВ=ОС=1/2 BD=11см
Рboc=ОB+ОC+ВC
Рboc=11+11+18=40см
3.диагонали ромба являются биссектрисами его углов (то есть делят их пополам);
сумма соседних углов ромба равна 180°;
противоположные углы ромба равны
4.Диагональ АС делит параллелограмм на 2 подобных треугольника. Углы NAB=PCD, угол ABN=CDP и следовательно углы BNA= СPD, отсюда следует что прямоугольники ABN и CDP также подобны. Следовательно прямые BN и PD равны между собой. Что и требовалось доказать
5.Примем коэффициент отношения AF:FD=a. Тогда AF=a, FD=5a. Их сумма 6а=18 см, ⇒ а=18:6=3 см. Отрезок АF=3 см, отрезок FD=5•3=15 см АВСD - параллелограмм. ВС║AD, CF – секущая. ∠ВСF=∠СFD как накрестлежащие. Но ∠FCD=∠BCF (СF – биссектриса) ⇒ ∠CFD=∠FCD . Углы при основании FC треугольника FDC равны, следовательно, он равнобедренный и CD=FD=15 см ( свойство). Запомним: Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Противоположные стороны параллелограмма равны, ⇒ АВ=CD=15 см. Периметр =сумма всех сторон АВСD. Р=2•(18+15)=66 см