1. Точка К равноудалена от сторон квадрата, следовательно, она находится на перпендикуляре к плоскости квадрата АВСD, проходящем через точку О пересечения диагоналей квадрата. Диагональ квадрата АС равна а√2, ее половина АО равна а√2/2. Тогда из прямоугольного треугольника, образованного перпендикуляром КО, отрезком ОА (катеты) и отрезком КА (гипотенуза) по Пифагору найдем искомое расстояние от точки К до вершин квадрата:
2. Определение: "Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или другими словами это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными". Следовательно, прямые В1О и А1С1 являются скрещивающими по определению. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся. Прямая АС параллельна прямой А1С1, так как это диагонали противоположных граней куба, лежащие в одной диагональной плоскости АА1С1С. Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми В1О и А1С1 - это угол между пересекающимися прямыми В1О и АС. В квадрате АВСD диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны. Следовательно, прямые В1О и АС перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах, так как проекция ВО наклонной В1О перпендикулярна прямой АС. => Прямые В1О и А1С1 перпендикулярны, что и требовалось доказать.
1. Точка К равноудалена от сторон квадрата, следовательно, она находится на перпендикуляре к плоскости квадрата АВСD, проходящем через точку О пересечения диагоналей квадрата. Диагональ квадрата АС равна а√2, ее половина АО равна а√2/2. Тогда из прямоугольного треугольника, образованного перпендикуляром КО, отрезком ОА (катеты) и отрезком КА (гипотенуза) по Пифагору найдем искомое расстояние от точки К до вершин квадрата:
КА=КВ=КС=КD = √(2a²+2a²/4) = √(10a²/4) = a²√10)/2.
2. Определение: "Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или другими словами это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными". Следовательно, прямые В1О и А1С1 являются скрещивающими по определению. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся. Прямая АС параллельна прямой А1С1, так как это диагонали противоположных граней куба, лежащие в одной диагональной плоскости АА1С1С. Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми В1О и А1С1 - это угол между пересекающимися прямыми В1О и АС. В квадрате АВСD диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны. Следовательно, прямые В1О и АС перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах, так как проекция ВО наклонной В1О перпендикулярна прямой АС. => Прямые В1О и А1С1 перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Пусть биссектриса АО пересекает стороны ВС в точке М. Прежде, чем раскладывать, вычислим ВМ и СМ. Ясно, что ВМ/СМ = 3/7; ВМ + СМ = 5;
отсюда ВМ = 7/2; СМ = 3/2; (и, что важнее всего! -) СМ = СВ*7/10
Применяя свойство биссектрисы к треугольнику СМА (биссектриса СО), получаем
МО/АО = СМ/АС = 1/2;
(на самом деле, это можно было бы сразу записать, если известно свойство точки пересечения биссектрис. Фактически я это свойство вывел)
АО = АМ*2/3;
Вот теперь можно заняться векторами. Жирным шрифтом обозначены векторы, а обычными буквами (если где-то встретятся)- их модули
СВ = АВ - АС = b - a;
CM = (7/10)*(b - a);
АМ = АС + СМ = a + (7/10)*(b - a) = a*3/10 + b*7/10;
AO = AM*2/3 = (a*3/10 + b*7/10)*2/3 = a/5 + b*7/15;
И, наконец,
СО = АO - АC = a/5 + b*7/15 - a = (-4/5)*a + (7/15)*b;
На самом деле, СО - это вычурный выбор, интересно именно АО. Точно тем же можно получить очень красивое выражение для АО в общем виде
АО = (a*b + b*a)/(a + b + c)