Через вершину конуса с основанием радиуса R проведена плоскость, которая пересекает его основание по хорде, которую видно из центра основания под углом α, а из вершины – под углом β. Найти площадь сечения.
--------
Данное сечение конуса - равнобедренный треугольник. Пусть сторона этого треугольника равна а.
Тогда его площадь можно выразить S=a²•sinβ/2.
1) Примем длину хорды равной х. Тогда из треугольника в основании, образованного хордой и двумя радиусами, квадрат её длины можно выразить по т.косинусов.
х²=2R²-2R²•cosα=2R²(1-cosα)
2) Выразим квадрат длины хорды по т.косинусов из треугольника в сечении:
Тело вращения - фигура из двух конусов с общим основанием, радиусом r которого является высота ∆ АВС, проведенная из С к гипотенузе АВ. Высота СН=r=а•sinα
Высота h1 большего конуса - больший из отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу.
Высота h2 меньшего конуса - меньший из отрезков, на которые высота СН делит гипотенузу.
Объём тела вращения прямоугольного треугольника -сумма объёмов получившихся конусов.
Через вершину конуса с основанием радиуса R проведена плоскость, которая пересекает его основание по хорде, которую видно из центра основания под углом α, а из вершины – под углом β. Найти площадь сечения.
--------
Данное сечение конуса - равнобедренный треугольник. Пусть сторона этого треугольника равна а.
Тогда его площадь можно выразить S=a²•sinβ/2.
1) Примем длину хорды равной х. Тогда из треугольника в основании, образованного хордой и двумя радиусами, квадрат её длины можно выразить по т.косинусов.
х²=2R²-2R²•cosα=2R²(1-cosα)
2) Выразим квадрат длины хорды по т.косинусов из треугольника в сечении:
х²=2а²-2а²•cosβ=2а²(1-cosβ)
3) Приравняем найденные значения х²
2R²(1-cosα)=2а²(1•cosβ)
Выразим а² из этого уравнения:
а²=R²(1-cosα):(1-cosβ)
Отсюда
S сечения=[R²(1-cosα):(1-cosβ)]•sinβ:2
1.Объём получившегося тела вращения - сумма объёмов цилиндра с и конуса с общим основанием с радиусом, равны высоте трапеции.
Высота прямоугольной трапеции равна меньшей боковой стороне.
ВН=3 ⇒ r=3
По т. Пифагора высота конуса АН= √(BA²-BH²)=4
Высота цилиндра DH =8-4=4
Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту
Vц=π3²•4=36π см³
Объём конуса равен 1/3 произведения площади основания на высоту.
Vk=π3²•4/3=12π см³
V=36π+12π=48π см³ (см. приложение)
------------------
2. Пусть данный треугольник АВС, угол С=90°, угол САВ=α, катет АС=а.
Тело вращения - фигура из двух конусов с общим основанием, радиусом r которого является высота ∆ АВС, проведенная из С к гипотенузе АВ. Высота СН=r=а•sinα
Высота h1 большего конуса - больший из отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу.
Высота h2 меньшего конуса - меньший из отрезков, на которые высота СН делит гипотенузу.
Объём тела вращения прямоугольного треугольника -сумма объёмов получившихся конусов.
V=V1+V2
r= a•sin α
V1=π•r²AH/3
V2= π•r²•BH/3
V=π•r²AH/3+ π•r²•BH/3
V=π•r²(AH+BH)/3;
AH+BH=AB
V=π•r²•AB/3
AB=AC/cosα=a/cosα
V=π•(a•sin α)²•(a/cosα):3=a³•sin²α/3cosα