На попарно перпендикулярных лучах ox,oy,oz выбраны точки a,b,c соответственно. найдите сумму квадратов сторон образованного треугольника, если ao=1,ob=2,oc=3

АВС - египетский треугольник (подобный тр-ку со сторонами 3,4,5), его стороны 15,20,25. Высота, проведенная к гипотенузе АВ - пусть это СН - вычисляется так

СН*25= 15*20 (это удвоенная площадь АВС, записанная СН = 12.

Плоскость DCH перпендикулярна АВ, поскольку АВ перпендикулярно DC и CH. Поэтому искомое расстояние находится из прямоугольного теругольника DCH с катетами 12 и 16. Это опять египетский треугольник, гипотенуза 20.

ответ DH = 20.

Напомню - из за того, что 3^2 + 4^2 = 5^2; подобие такому треугольнику позволяет не заниматься вычислением длинных корней, а сразу записать результат. Впрочем, кому охота, запишите теорему Пифагора и сосчитайте - результат будет тот же.

Пусть основание высоты (на гипотенузе) - это точка О. С - вершина прямого угла. Тогда высота - это вектор h = ОС, отрезки гипотенузы k = OA; p = BО;

(первая точка означает начало вектора, вторая - конец, к примеру, ОА = - АО)

и стороны треугольника можно записать так

CB = p + h;

CA = k - h;

BA = k + p; 

Поскольку  АВС прямоугольный треугольник, то

(k + p)^2 = (k - h)^2 + (p + h)^2; 

Раскрываем скобки.

k^2 + 2kp + p^2 = k^2 - 2kh + h^2 + p^2 + 2ph + h^2;

Вектор h перпендикулярен векторам k и p, => скалярные произведения kh и ph равны 0. 

Скалярное произведение kp = kp (то есть произведение длин отрезков гипотенузы), поскольку эти векторы коллинеарны. 

Поэтому

kp = h^2; чтд.