1. Сначала я докажу, что АС НЕ МОЖЕТ БЫТЬ биссектрисой угла BAD (то есть угла А) и <ACD НЕ МОЖЕТ БЫТЬ равным 135° в равнобедренной трапеции АВСD при условии, что ВС=10см, а AD=20см. Для этого продолжим боковые стороны АВ и DC до их пересечения в точке Е. Треугольник АЕD равнобедренный и в нем отрезок ВС является средней линией, так как он параллелен основанию AD и равен его половине. Следовательно, точки В и С делят боковые стороны треугольника пополам. Углы при основании равны 30°, значит угол при вершине равен 120° (так как сумма углов треугольника равна 180°). Отметим, что cos120°=cos(180-60)=-cos60° и по теореме косинусов найдем боковую сторону нашего треугольника. Пусть она равна Х, тогда AD²=X²+X²-2*X*X*Cos120° или 400=2X²+2X²(1/2). Или 400=3*X² или 20=X√3. Отсюда Х=20/√3=20√3/3 см. Это боковая сторона. Тогда половина этой стороны АЕ, то есть АВ=10√3/3 ≈5,8 см и треугольник АВС НЕ РАВНОБЕДРЕННЫЙ, а значит АС - НЕ БИССЕКТРИСА угла ВАD и <ACD НЕ РАВЕН 135°, что и требовалось доказать. 2. Найдем периметр трапеции, не опираясь на не верное условие задачи. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из тупого угла на основание, делит его на два отрезка, меньший из которых равен полуразности двух оснований. Пусть ВН - высота, тогда АН=(20-10)/2=5см. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла 30° (дано). Значит АВ²=АВ²/4 + АН² или 3АВ²=100. Отсюда АВ=10/√3=10√3/3. Мы видим, что этот ответ совпадает с полученным результатом в п1. Таким образом, периметр трапеции равен Р=20+10+2*(10√3/3)=30+20√3/3 см. Р=30+20√3/3.
Теперь посмотрим, что же хотел получить в ответе составитель этой задачи. Если <ACD=135°(не может быть - доказано выше), а <ADC=30° то <АСВ=180°-135°-30°=15°, то есть <ACB равен половине угла ВАD и, значит АС - биссектриса. Тогда АВС - равнобедренный треугольник и АВ=ВС. Периметр равен 10+10+10+20=50см.
Мектеп оқушыларының геометриялық есептерді нашар шығаратыны белгілі.Оның бірнеше себебі бар.Біріншіденгеометриялық есептер оқушылардан шығармашылық қасиеттерді талап етеді.Екіншіден оқушыларға берілетін теориялық мағлұматтар геометриялық есептерді шығаруды жеңілдететін жұмысшы құрал бола алмай тұр.
Жалпы геометрияда тіктөртбұрышты,ромбыны,квадратты параллелограмнан өрбітіп дамытады.Ал трапецияны « Екі қабырғасы параллель,ал былайғы екі қабырғасы параллель емес төртбұрыш трапеция деп және оның параллель қабырғалары (а,в) табандары, ал былайғы екі қабырғасы (с,d) бүйір қабырғалары деп анықтама беріледі.Трапецияның үш түрі болатындығы айтылады.(1-сурет)
1-сурет
Жоғарыда айтылғандай трапецияны да тіктөртбұрышты,ромбыны,квадрат секілді параллелограмнан таратып, трапецияның параллелограмға ұқсас түрлерінен бастап, белгілі трапецияларды айтар болсақ, трапеция тақырыбының ауқымы арта түсері анық.
Осы орайда мектебімізде үйірме сабақтарында трапецияның оқулықтарда айтыла бермейтін түрлері мен қасиеттері үйретілген еді. Солардың бірі мынадай:
1-теорема.Тең бүйірлі трапецияның диагональдары өзара перпендикуляр болса,онда трапецияның орта сызығы биіктікке тең болады.
Дәлелдеуі:Трапецияның ауданы екі үшбұрыштың аудандарының қосындысына тең.
Жауабы: S=1024 cм22-теорема.Кез келген трапецияның екі табанының қосындысы оның диагоналдарының үлкен табанға түсірілген проекцияларының қосындысына немесе айырмасына тең болады.
Оны формула түрінде берсек: а+в= d11d12
Трапеция тең бүйірлі болғанда,оның диагональдары тең болатыны және диагональдарының үлкен табанға түсірілген проекциялары да тең болатыны белгілі. Трапецияның ауданын есептейтін формуласына қою арқылымына формула шығады.S= t*һ (1),мұндағы t- диагоналдың үлкен табанға түсірілген проекциясы, һ-трапецияның биіктігі.
2-есеп.Тең бүйірлі трапецияның диагоналы 10см-ге, ал ауданы 48см2-ге тең. Трапецияның биіктігін табыңдар
Берілгені: АС=10cм,S=48 см2
Табу керек:СН
Шешуі: ∆ ACN
AH=Оны (1) формулаға қойып,теңдігі шығады.Бұдан
(100-СН2)*СН2=2304,СН4-100СН2+2304=0
СН2=х деп алсақ,х2-100х+2304=0
Х=50
Х1=36,Х2=64.Яғни, биіктік 6см және 8см.
3-теорема.Кез келген трапецияның диагональдарының квадраттарының айырмасы олардың үлкен табанға түсірілген проекцияларының квадраттарының сәйкес айырмасына тең болады.
Оны формула түрінде берсек: d21-d22=(d11)2–(d12)2 (2)
3-есеп. Трапецияның табандары 5 пен 15-ке, ал диагоналдары 12 мен 16-ға тең. Трапецияның ауданын табыңыз.
Берілгені:АС= 12, BD =16, BC=5, AD=15
Табу керек:S-?
Шешуі:Жоғарыдағы (2) қасиетті пайдалансақ BD2 – AC2= KD2 – AH2. Бұдан ( KD- AH) (KD+AH) = 256-144, ал (1) қасиет бойынша KD+AH=AD+BC, яғни KD+AH = 20.
Орындарына қойғанда KD- AH = 5,6 шығады KD = KH+HD, AH= KH+AK болғандықтан 5+ HD – 5 – AK = 5,6, HD – AK =5,6. Ал AK + HD =10
жүйесінен HD =7,8 табылады.
KD = 7,8 + 5=12,8.
BK2 = BD2 – KD2ВК = = 9,6Sтр ==96
4 – есеп.Тең бүйірлі трапецияның ең үлкен қабырғасы 13-ке, ал периметрі 28-см-ге тең. Трапецияның ауданы 27-ге тең болса, оның қабырғаларын табыңдар.
Для этого продолжим боковые стороны АВ и DC до их пересечения в точке Е. Треугольник АЕD равнобедренный и в нем отрезок ВС является средней линией, так как он параллелен основанию AD и равен его половине. Следовательно, точки В и С делят боковые стороны треугольника пополам.
Углы при основании равны 30°, значит угол при вершине равен 120° (так как сумма углов треугольника равна 180°).
Отметим, что cos120°=cos(180-60)=-cos60° и по теореме косинусов найдем боковую сторону нашего треугольника. Пусть она равна Х,
тогда AD²=X²+X²-2*X*X*Cos120° или 400=2X²+2X²(1/2). Или
400=3*X² или 20=X√3.
Отсюда Х=20/√3=20√3/3 см. Это боковая сторона. Тогда половина этой стороны АЕ, то есть АВ=10√3/3 ≈5,8 см и треугольник АВС НЕ РАВНОБЕДРЕННЫЙ, а значит
АС - НЕ БИССЕКТРИСА угла ВАD и <ACD НЕ РАВЕН 135°, что и требовалось доказать.
2. Найдем периметр трапеции, не опираясь на не верное условие задачи. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из тупого угла на основание, делит его на два отрезка, меньший из которых равен полуразности двух оснований. Пусть ВН - высота, тогда
АН=(20-10)/2=5см. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла 30° (дано). Значит АВ²=АВ²/4 + АН² или 3АВ²=100.
Отсюда АВ=10/√3=10√3/3. Мы видим, что этот ответ совпадает с полученным результатом в п1.
Таким образом, периметр трапеции равен
Р=20+10+2*(10√3/3)=30+20√3/3 см.
Р=30+20√3/3.
Теперь посмотрим, что же хотел получить в ответе составитель этой задачи.
Если <ACD=135°(не может быть - доказано выше), а <ADC=30° то
<АСВ=180°-135°-30°=15°, то есть
<ACB равен половине угла ВАD и, значит АС - биссектриса.
Тогда АВС - равнобедренный треугольник и АВ=ВС.
Периметр равен 10+10+10+20=50см.
Объяснение:
Мектеп оқушыларының геометриялық есептерді нашар шығаратыны белгілі.Оның бірнеше себебі бар.Біріншіденгеометриялық есептер оқушылардан шығармашылық қасиеттерді талап етеді.Екіншіден оқушыларға берілетін теориялық мағлұматтар геометриялық есептерді шығаруды жеңілдететін жұмысшы құрал бола алмай тұр.
Жалпы геометрияда тіктөртбұрышты,ромбыны,квадратты параллелограмнан өрбітіп дамытады.Ал трапецияны « Екі қабырғасы параллель,ал былайғы екі қабырғасы параллель емес төртбұрыш трапеция деп және оның параллель қабырғалары (а,в) табандары, ал былайғы екі қабырғасы (с,d) бүйір қабырғалары деп анықтама беріледі.Трапецияның үш түрі болатындығы айтылады.(1-сурет)
1-сурет
Жоғарыда айтылғандай трапецияны да тіктөртбұрышты,ромбыны,квадрат секілді параллелограмнан таратып, трапецияның параллелограмға ұқсас түрлерінен бастап, белгілі трапецияларды айтар болсақ, трапеция тақырыбының ауқымы арта түсері анық.
Осы орайда мектебімізде үйірме сабақтарында трапецияның оқулықтарда айтыла бермейтін түрлері мен қасиеттері үйретілген еді. Солардың бірі мынадай:
1-теорема.Тең бүйірлі трапецияның диагональдары өзара перпендикуляр болса,онда трапецияның орта сызығы биіктікке тең болады.
Дәлелдеуі:Трапецияның ауданы екі үшбұрыштың аудандарының қосындысына тең.
∆АОВ,∆СОД-тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыштар АО2 +ОВ 2=а2,2АО2=a2
CO2+OD2=в2,2СО2 =в2. АД=ВС=
(*) формуласына қойсақ, онда
Трапецияның ауданы екеуін теңестіріп,бұдан
Теорема дәлелденді.
1.есеп №293 (B деңгей)
Бер:АВСД –тең бүйірлі трапеция.
АВ =24 см
ДС=40 см
АД┴ВС
т/к: SABCD
Шешуі:1 теорема бойынша МN=ВК
.S=32*32=1024см2
Жауабы: S=1024 cм22-теорема.Кез келген трапецияның екі табанының қосындысы оның диагоналдарының үлкен табанға түсірілген проекцияларының қосындысына немесе айырмасына тең болады.
Оны формула түрінде берсек: а+в= d11d12
Трапеция тең бүйірлі болғанда,оның диагональдары тең болатыны және диагональдарының үлкен табанға түсірілген проекциялары да тең болатыны белгілі. Трапецияның ауданын есептейтін формуласына қою арқылымына формула шығады.S= t*һ (1),мұндағы t- диагоналдың үлкен табанға түсірілген проекциясы, һ-трапецияның биіктігі.
2-есеп.Тең бүйірлі трапецияның диагоналы 10см-ге, ал ауданы 48см2-ге тең. Трапецияның биіктігін табыңдар
Берілгені: АС=10cм,S=48 см2
Табу керек:СН
Шешуі: ∆ ACN
AH=Оны (1) формулаға қойып,теңдігі шығады.Бұдан
(100-СН2)*СН2=2304,СН4-100СН2+2304=0
СН2=х деп алсақ,х2-100х+2304=0
Х=50
Х1=36,Х2=64.Яғни, биіктік 6см және 8см.
3-теорема.Кез келген трапецияның диагональдарының квадраттарының айырмасы олардың үлкен табанға түсірілген проекцияларының квадраттарының сәйкес айырмасына тең болады.
Оны формула түрінде берсек: d21-d22=(d11)2–(d12)2 (2)
3-есеп. Трапецияның табандары 5 пен 15-ке, ал диагоналдары 12 мен 16-ға тең. Трапецияның ауданын табыңыз.
Берілгені:АС= 12, BD =16, BC=5, AD=15
Табу керек:S-?
Шешуі:Жоғарыдағы (2) қасиетті пайдалансақ BD2 – AC2= KD2 – AH2. Бұдан ( KD- AH) (KD+AH) = 256-144, ал (1) қасиет бойынша KD+AH=AD+BC, яғни KD+AH = 20.
Орындарына қойғанда KD- AH = 5,6 шығады KD = KH+HD, AH= KH+AK болғандықтан 5+ HD – 5 – AK = 5,6, HD – AK =5,6. Ал AK + HD =10
жүйесінен HD =7,8 табылады.
KD = 7,8 + 5=12,8.
BK2 = BD2 – KD2ВК = = 9,6Sтр ==96
4 – есеп.Тең бүйірлі трапецияның ең үлкен қабырғасы 13-ке, ал периметрі 28-см-ге тең. Трапецияның ауданы 27-ге тең болса, оның қабырғаларын табыңдар.
Берілгені: AD \\ BC, AB = CD, AD =13 P=28, S =27,
Табу керек.AB = CD, BC, AD