На основании AC равнобедренного треугольника ABC отмечена точка K так, что AK=4, KC=5. Ее отразили относительно боковых сторон треугольника и получили точки L и M. Серединный перпендикуляр к отрезку LM пересекает прямую AC в точке P. Найдите длину отрезка PK
Проведем продолжение высоты OE к стороне AB и обозначим точку пересечения как F (как показано на рисунке).
Площадь ромба (как и параллелограмма) равна произведению высоты на сторону ромба.
Высота ромба = EF (т.к. EF перпендикулярна CD). Рассмотрим треугольники DOE и BOF.
DO=OB (по второму свойству ромба)
/DOE=/BOF (т.к. они вертикальные)
/EDO=/FBO (т.к. это внутренние накрест-лежащие)
Следовательно, треугольники DOE и BOF равны по второму признаку.
Тогда OE=OF => EF=2*OE=2*1=2
Sромба=EF*CD=2*9=18
ответ: Sромба=18
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Центр вписанной в угол ВСД окружности лежит на биссектрисе СР
Центр вписанной в угол СДА окружности лежит на биссектрисе ДР
Т.к. точка Р для биссектрис углов ВСД и СДА общая - она является центром вписанной в оба угла окружности.
Расстояние от центра вписанной в угол окружности до его сторон равно ее радиусу. Расстояние из Р до прямых ВС, СД, АД - перпендикуляр и равно радиусу этой окружности.
Вариант решения:
Расстояние от точки до прямой - отрезок, проведенный к ней перпендикулярно.
ОК, ОМ, ОН - перпендикуляры к прямым ВС, СD, AD соответственной.
Прямоугольные ∆ СКО=∆СМО по равному острому углу при С и общей гипотенузе ОС. ⇒
КО=ОМ
Прямоугольные ∆ НОD=∆ MOD по равному острому углу при D и общей гипотенузе OD. ⇒
НО=ОМ
КО=ОМ, НО=ОМ⇒
КО=ОН=ОМ, что и требовалось доказать.