На медіані BM трикутника ABC позначили точку K доведіть що коли AKM=CKM то трикутник ABC рівнобедрений

AB =16 ; ∠A =30° ; ∠B =105° .

1) BC -?
2) (меньшая сторона) -?

1) AB/sin∠C =BC/sinA   =  AC/sin∠B  = 2R (теорема синусов).
∠C =180° -(∠A +∠B )= 180° -(30° +105°) =45°.
16/sin45° =BC/sin30°⇒
BC =15*(sin30°/sin45°) =16*(1/2) / (1/√2) =(16√2)/2 =8√2≈11,28 (см).
---
2) меньшая сторона та, которая лежит против меньшего угла , 
эта сторона BC(лежит против меньшего угла ∠A=30°).  
 
длину  AC  не требуется , но :
AC /sin∠B = AB/sin∠C ⇒AC =AB*sin(∠B)/(sin∠C)=
16* sin105°/(1/√2) =16√2sin105°=16√2*√2(√3 +1)/4 =8(√3 +1) .

sin105° =sin(180°-75°) =sin75°=sin(45°+30°) =...
или 
sin105° =sin(60°+45°) =sin60°*cos45°+cos60°*sin45°=
(√3/2)*(√2/2)+(1/2)*(√2/2) =√2(√3 +1)/4.

* * * * * * *    Второй
∠C =180° -(∠A+∠B) =180° -(30°+105°) =45°.
Проведем высоту  BH⊥AC (∠AHB=90°) ⇒  Прямоугольный треугольник BHC  равнобедренный CH =BH ,т.к.  ∠C =45°.
По теореме Пифагора из ΔBHC:
BC =√ (BH² +CH²) =√(2BH²) =BH√2 . Но из ΔABH  BH=AB/2 =8(как катет против угла
∠A =30°). Значит BC =BH√2 =8√2.

Рассмотрим правильный многоугольник. Я нарисовал 5-угольник для примера.
Проведем радиусы вписанной окружности r и хорду b между ними.
Угол α = 360/n, угол β = 180 - α = 180 - 360/n
По формулам приведения cos (180 - α) = -cos α
По теореме косинусов
b^2 = r^2 + r^2 - 2r*r*cos α = 2r^2*(1 - cos(360/n))
b^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 - 2*a/2*a/2*cos β = 2(a/2)^2*(1 + cos(360/n))
Приравниваем правые части этих формул
2r^2*(1 - cos(360/n)) = 2(a/2)^2*(1 + cos(360/n))
Кроме того, по условию a/r = 2; то есть a/2 = r. Получаем
2r^2*(1 - cos(360/n)) = 2r^2*(1 + cos(360/n))
1 - cos(360/n) = 1 + cos(360/n)
cos(360/n) = 0
360/n = 90
n = 4
ответ: это квадрат.