На катетах прямоугольного треугольника площади 1 как на диаметрах построены полукруги, расположенные вне этого треугольника. Найти сумму площадей этих полукругов, расположенных вне круга, описанного около исходного треугольника.

∠1 = 135°,

∠2 = 45°,

∠3 = 145°,

∠4 = 35°,

∠5 = 145°,

∠8 = 45°.  

Объяснение:

1) Пронумеруем углы, начиная слева снизу, идём вверх, потом, а затем справа сверху идём вниз:

∠1 - найти,

∠2 - найти,

∠3 - найти,

∠4 - найти,

∠5 - найти,

∠6 = 35° - дано;

∠7 = 135° - дано;

∠8 - найти.  

2) Решение:

∠1 = ∠7 = 135° - как углы вертикальные;

∠2= ∠8 = 180°(развернутый угол) - 135° = 45° - как углы вертикальные;

∠4 = ∠6 = 35° - как углы вертикальные;

∠3= ∠5 = 180°(развернутый угол) - 35° = 145° - как углы вертикальные.

∠1 = 135°,

∠2 = 45°,

∠3 = 145°,

∠4 = 35°,

∠5 = 145°,

∠8 = 45°.

Точка N лежит на серединном перпендикуляре к AD, следовательно равноудалена от концов отрезка.

△AND - равнобедренный, DAN=ADN

DAN =A/2 +NAC

ADN =A/2 +B (внешний угол △BAD)

=> NAC =B =∪AC/2

Угол между прямой NA и хордой AC равен половине дуги, стягиваемой хордой, следовательно NA является касательной.

Докажем этот признак для острого угла NAC.

NAC =∪AC/2 =AOC/2 =AOH

△AOC - равнобедренный, OH - биссектриса и высота

OAH =90-AOH =90-NAC => OAN =OAH+NAC =90

Прямая NA перпендикулярна радиусу OA, следовательно является касательной.  

Для тупого угла как для смежного с NAC:

180-NAC =(360-∪AC)/2 => NAC=∪AC/2, далее по доказанному.