На боковой стороне CD трапеции ABCD (AD∥BC) отмечена точка M. Из вершины A на отрезок BM опущен перпендикуляр AH. Оказалось, что AD=HD. Найдите длину отрезка AD, если известно, что BC=18, CM=9, MD=11.

Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна 3, биссектриса прямого угла равна 4. Найдите площадь треугольника.

ответ: 72 (ед. площади)

Объяснение:

∆ АВС, угол С=90°, высота СН =3, биссектриса СК=4.

Решение.

Из ⊿ СНК: sin ∠СКН=СН:СК=3/4=0,75 ⇒

∠СКН=48,59° - внешний ∆ АСК ⇒

∠САК=48,59°-∠АСК=48,59°-45=3,59°

∠СВА=90°-3,59°=86,4°

Из ⊿ АСН гипотенуза АС=СН:sinCAK=3:0,0626=47,9108

Из ⊿ СВН гипотенуза СВ=СН:sin CBH=3:0,998=3.006

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S (ABC)=AC•BC=47,9108•3,006=72,009 ≈ 72 (ед. площади)

ответ: сторона квадрата=2√6см

Объяснение: проведём проэкцию ВД на плоскость квадрата АВСД. Перпендикуляр МД вместе с наклонной МВ и проэкцией ВД образуют прямоугольный треугольник ВМД с катетами МД и ВД и гипотенузой ВМ. Так как угол МВД=30°, то катет МВ, лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому

гипотенуза ВМ=4×2=8см

Теперь найдём проэкцию ВД по теореме Пифагора: ВД²=МВ²-МД²=8²-4²=64-16=48

ВД=√48см

ВД является диагональю квадрата АВСД, которая делит его на 2 равных равнобедренных прямоугольных треугольника в которых стороны квадрата равны и являются катетами а диагональ - гипотенузой. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы в √2 раз, поэтому АВ=ВС=СД=АД=√48/√2=

=√24=2√6см