Сделаем рисунок. АВ - общая касательная. IJ- отрезок, соединяющий центры. О - точка пересечения этого отрезка и касательной. IA - радиус большей окружности, JB - радиус меньшей окружности. Вариант решения 1) Как радиусы, проведенные в точку касания, IA и JB перпендикулярны касательной АВ. Прямоугольные треугольники OIA и OJB подобны по двум углам - прямому и вертикальному при О. Все стороны этих треугольников имеют коэффициент подобия k=m:n ⇒ IA:JB=m:n Ясно, что отношение диаметров данных окружностей равно отношению их радиусов, т.е. АС:ВD=m:n.
Вариант решения 2) СА ⊥АВ BD ⊥АВ ⇒ СА и BD- параллельны. Углы С и D равны как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей.. Углы при О равны, как вертикальные. Треугольники АСO и DBO подобны по трем углам. OI OJ- медианы этих треугольников. Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия. Следовательно, отношение диаметров данных окружностей ( гипотенуз треугольников) равно отношению их медиан, т.е. АС:ВD=m:n.
Ну прежде всего набросаем рисунок. (Смотрите вложение) Итак согласно рисунку и условию имеем: ABCD - Параллелограмм BK - биссектриса тупого угла D. При этом 3*KC=BK. Поскольку BK - биссектриса, то угол ADK равен углу KDC обозначим φ. Далее проводим дополнительные построения. Через точку K проводим прямую KM параллельную сторонам AB и DC. Она пересечет сторону AD в точке M. Углы MKD и KDC равны как внутренние, накрест лежащие углы при параллельных прямых MK и DC и секущей DK. Значит угол MKD=φ. Углы MKD=MDK=φ. Значит треугольник MDK равнобедренный, его боковые стороны равны. MD=MK. Четырехугольник ABKM является параллелограммом, так как его противолежащие стороны параллельны, ну значит они еще и равны, т.е. BK=AM, AB=MK. Нас интересует последнее равенство ибо из него⇒ AB=MK=MD=KC (MDKC ведь тоже получился параллелограмм). Теперь обозначим KC=x, тогда согласно условию BK=3x. Значит BC=4x. Из вышеприведенных соображений следует, что AB=KC=x. ПЕРИМЕТР равен: , что по условию равно 10 (попугаям :) ну единицы ж не указаны). Итак имеем простенькое уравнение 10x=10 Решаем его Тогда стороны
АВ - общая касательная.
IJ- отрезок, соединяющий центры.
О - точка пересечения этого отрезка и касательной.
IA - радиус большей окружности, JB - радиус меньшей окружности.
Вариант решения 1)
Как радиусы, проведенные в точку касания, IA и JB перпендикулярны касательной АВ.
Прямоугольные треугольники OIA и OJB подобны по двум углам - прямому и вертикальному при О. Все стороны этих треугольников имеют коэффициент подобия
k=m:n ⇒
IA:JB=m:n
Ясно, что отношение диаметров данных окружностей равно отношению их радиусов, т.е. АС:ВD=m:n.
Вариант решения 2)
СА ⊥АВ
BD ⊥АВ ⇒
СА и BD- параллельны.
Углы С и D равны как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей.. Углы при О равны, как вертикальные.
Треугольники АСO и DBO подобны по трем углам.
OI OJ- медианы этих треугольников.
Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.
Следовательно, отношение диаметров данных окружностей ( гипотенуз треугольников) равно отношению их медиан, т.е. АС:ВD=m:n.
Итак согласно рисунку и условию имеем:
ABCD - Параллелограмм
BK - биссектриса тупого угла D.
При этом 3*KC=BK.
Поскольку BK - биссектриса, то угол ADK равен углу KDC обозначим φ.
Далее проводим дополнительные построения. Через точку K проводим прямую KM параллельную сторонам AB и DC. Она пересечет сторону AD в точке M.
Углы MKD и KDC равны как внутренние, накрест лежащие углы при параллельных прямых MK и DC и секущей DK. Значит угол MKD=φ. Углы MKD=MDK=φ. Значит треугольник MDK равнобедренный, его боковые стороны равны. MD=MK.
Четырехугольник ABKM является параллелограммом, так как его противолежащие стороны параллельны, ну значит они еще и равны, т.е.
BK=AM, AB=MK. Нас интересует последнее равенство ибо из него⇒
AB=MK=MD=KC (MDKC ведь тоже получился параллелограмм).
Теперь обозначим KC=x, тогда согласно условию BK=3x. Значит BC=4x.
Из вышеприведенных соображений следует, что AB=KC=x.
ПЕРИМЕТР равен:
что по условию равно 10 (попугаям :) ну единицы ж не указаны).
Итак имеем простенькое уравнение 10x=10
Решаем его
Тогда стороны
Как видно большая сторона равна 4