Сума внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює 360°. Нехай міра меншого кута дорівнює х°, тоді інші кути чотирикутника мають міру 2х°, Зх" та 4х°. Розв'язуємо рівняння х + 2х + Зх + 4х = 360; 10х = 360; х - 36. Отже, кути чотирикутника мають міру 36°, 72", 108° та 144°;
а) Якщо менший кут чотирикутника має міру х°, то, згідно умові, інші кути мають міру 2х", 2х° та 13зг°. Отримуємо рівняння: х + 2х + 2х + 13х = 360; 18х = 360; х = 20. Отже, кути чотирикутника мають міру 20°, 40°, 40° та 260°. Оскільки найбільший кут чотирикутника більший від розгорнутого, то даний чотирикутник — не опуклий.
Дано: ABCD - тетраэдр, AC = BC = AB = DA = DB = DC, ABK ⊥ CD
Найти: ∠(ABC, ABK) - ?
Решение: Пусть BD = x. Так как по условию AC = BC = AB = DA =
= DB = DC, то x = AC = BC = AB = DA = DB = DC. Проведем из точки K перпендикуляр к прямой AB в точку F. Так как точки A,B ∈ ABC и A,B ∈ ABK, то ABC ∩ ABK = AB.
Так как (F ∈ AB, ABC ∩ ABK= AB ⇒ AB ⊂ ABK) ⇒ F ∈ ABK, то KF ⊂ ABK.
Так как по условию ABK ⊥ CD, то по определению перпендикулярности прямой плоскости, прямая перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, тогда KF ⊥ CD, так как KF ⊂ ABK. Так как KF ⊥ CD и KF ⊥ AB по построению, то по теореме о трех перпендикулярах CF ⊥ AB.
Так как CF ⊥ AB и KF ⊥ AB, то угол ∠KFC является линейным углом двухгранного угла ∠(ABC, ABK), то есть ∠(ABC, ABK) = ∠KFC.
Так как по условию AC = BC = AB = DA = DB = DC, то тетраэдр ABCD - правильный по определению. По свойствам правильного тетраэдра все его грани правильные треугольники, тогда треугольник ΔABC - правильный. По свойствам правильного треугольника все его углы равны 60°, тогда ∠CAB = 60°. Рассмотрим треугольник ΔCAF. Так как CF ⊥ AB, то треугольник ΔCAF - прямоугольный. . Так как CF ⊥ AB, то CF - высота правильного треугольника ΔABC. По свойствам правильного треугольника все его высоты являются медианами и биссектрисами, тогда точка F - середина отрезка AB. Так как все грани правильного тетраэдра правильные треугольники, то треугольник ΔADB - правильный. Проведем отрезок DF в треугольнике ΔΔADB. Так как точка F - середина отрезка AB, то отрезок DF - медиана, а по свойствам правильного треугольника биссектриса и высота. Так как по свойствам правильного тетраэдра(ABCD) все его грани равны между собой треугольник, то соответствующие элементы треугольников равны, тогда CF = DF как высоты правильных треугольников, следовательно треугольник ΔCFD - равнобедренный с основанием CD. Так как FK ⊥ CD, то по теореме высота равнобедренного треугольника проведенная к основанию(CD) является медианой и биссектрисой, то есть
Сума внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює 360°. Нехай міра меншого кута дорівнює х°, тоді інші кути чотирикутника мають міру 2х°, Зх" та 4х°. Розв'язуємо рівняння х + 2х + Зх + 4х = 360; 10х = 360; х - 36. Отже, кути чотирикутника мають міру 36°, 72", 108° та 144°;
а) Якщо менший кут чотирикутника має міру х°, то, згідно умові, інші кути мають міру 2х", 2х° та 13зг°. Отримуємо рівняння: х + 2х + 2х + 13х = 360; 18х = 360; х = 20. Отже, кути чотирикутника мають міру 20°, 40°, 40° та 260°. Оскільки найбільший кут чотирикутника більший від розгорнутого, то даний чотирикутник — не опуклий.
Объяснение:
Дано: ABCD - тетраэдр, AC = BC = AB = DA = DB = DC, ABK ⊥ CD
Найти: ∠(ABC, ABK) - ?
Решение: Пусть BD = x. Так как по условию AC = BC = AB = DA =
= DB = DC, то x = AC = BC = AB = DA = DB = DC. Проведем из точки K перпендикуляр к прямой AB в точку F. Так как точки A,B ∈ ABC и A,B ∈ ABK, то ABC ∩ ABK = AB.
Так как (F ∈ AB, ABC ∩ ABK= AB ⇒ AB ⊂ ABK) ⇒ F ∈ ABK, то KF ⊂ ABK.
Так как по условию ABK ⊥ CD, то по определению перпендикулярности прямой плоскости, прямая перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, тогда KF ⊥ CD, так как KF ⊂ ABK. Так как KF ⊥ CD и KF ⊥ AB по построению, то по теореме о трех перпендикулярах CF ⊥ AB.
Так как CF ⊥ AB и KF ⊥ AB, то угол ∠KFC является линейным углом двухгранного угла ∠(ABC, ABK), то есть ∠(ABC, ABK) = ∠KFC.
Так как по условию AC = BC = AB = DA = DB = DC, то тетраэдр ABCD - правильный по определению. По свойствам правильного тетраэдра все его грани правильные треугольники, тогда треугольник ΔABC - правильный. По свойствам правильного треугольника все его углы равны 60°, тогда ∠CAB = 60°. Рассмотрим треугольник ΔCAF. Так как CF ⊥ AB, то треугольник ΔCAF - прямоугольный.
. Так как CF ⊥ AB, то CF - высота правильного треугольника ΔABC. По свойствам правильного треугольника все его высоты являются медианами и биссектрисами, тогда точка F - середина отрезка AB. Так как все грани правильного тетраэдра правильные треугольники, то треугольник ΔADB - правильный. Проведем отрезок DF в треугольнике ΔΔADB. Так как точка F - середина отрезка AB, то отрезок DF - медиана, а по свойствам правильного треугольника биссектриса и высота. Так как по свойствам правильного тетраэдра(ABCD) все его грани равны между собой треугольник, то соответствующие элементы треугольников равны, тогда CF = DF как высоты правильных треугольников, следовательно треугольник ΔCFD - равнобедренный с основанием CD. Так как FK ⊥ CD, то по теореме высота равнобедренного треугольника проведенная к основанию(CD) является медианой и биссектрисой, то есть
CK = KD = CD : 2 = x : 2 = 0,5x.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔCKF.