Её можно тупо сосчитать по формуле Герона, а можно и сообразить, что треугольник "составлен" из двух Пифагоровых треугольников со сторонами (5,12,13) и (9,12,15), так, что катет 12 у них общий, а катеты 5 и 9 вместе составляют сторону 14 исходного треугольника.
То есть высота к стороне 14 равна 12.
Итак, площадь треугольника S = 14*12/2 = 84;
Полупериметр равен (13 + 14 + 15)/2 = 21;
Поэтому радиус вписанной окружности равен r = 84/21 = 4;
Сечение шара плоскостью треугольника как раз и дает нам круг, ограниченный вписанной окружностью. При этом радиус этой окружности r, расстояние d от центра до плоскости сечения (до плоскости треугольника) и радиус шара R связаны теоремой Пифагора.
Теорема 1. Шар можно вписать в прямую призму в том и только в том случае, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности.
Следствие 1. Центр шара, вписанного в прямую призму, лежит в середине высоты призмы, проходящей через центр окружности, вписанной в основание.
Следствие 2. Шар, в частности, можно вписать в прямые: треугольную, правильную, четырехугольную (у которой суммы противоположных сторон основания равны между собой) при условии Н = 2r, где Н – высота призмы, r – радиус круга, вписанного в основание.
Вывод: радиус сферы, вписанной в прямую призму высота которой равна h, равен половине этой высоты.
Для решения задачи нужна площадь треугольника.
Её можно тупо сосчитать по формуле Герона, а можно и сообразить, что треугольник "составлен" из двух Пифагоровых треугольников со сторонами (5,12,13) и (9,12,15), так, что катет 12 у них общий, а катеты 5 и 9 вместе составляют сторону 14 исходного треугольника.
То есть высота к стороне 14 равна 12.
Итак, площадь треугольника S = 14*12/2 = 84;
Полупериметр равен (13 + 14 + 15)/2 = 21;
Поэтому радиус вписанной окружности равен r = 84/21 = 4;
Сечение шара плоскостью треугольника как раз и дает нам круг, ограниченный вписанной окружностью. При этом радиус этой окружности r, расстояние d от центра до плоскости сечения (до плоскости треугольника) и радиус шара R связаны теоремой Пифагора.
R^2 = r^2 + d^2;
Отсюда d = 3; (тут Пифагорова тройка 3,4,5)
Теорема 1. Шар можно вписать в прямую призму в том и только в том случае, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности.
Следствие 1. Центр шара, вписанного в прямую призму, лежит в середине высоты призмы, проходящей через центр окружности, вписанной в основание.
Следствие 2. Шар, в частности, можно вписать в прямые: треугольную, правильную, четырехугольную (у которой суммы противоположных сторон основания равны между собой) при условии Н = 2r, где Н – высота призмы, r – радиус круга, вписанного в основание.
Вывод: радиус сферы, вписанной в прямую призму высота которой равна h, равен половине этой высоты.