Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює 10 см і ділить прямий кут у відношенні 1:2. Знайдіть гіпотенузу трикутника і його найменшу середню лінію.
Центр О окружности лежит на перпендикуляре, проведенном к середине отрезка MN. Обозначим: - точку касания окружностью стороны АВ точкой К, - точки пересечения осью окружности, перпендикулярной стороне АС, со стороной АС за точку Р, со стороной АВ за точку Е, - отрезок ОР за х, - отрезок РЕ за в. Так как окружность проходит через точки М и К, то МО и КО как радиусы равны. Из треугольников ОМР и ОКЕ составим уравнение: Возведём в квадрат и получаем квадратное уравнение: (1 - cos²A)*x²-2bcos²A*x+(13.5²-b²cos²А) = 0. Значение в находим: в = 22,5*tgA = 22.5*((1-cos²A)/cosA) = 5,809475. Подставив значения в и cosA, получаем: 0,0625х² - 10,892766х + 150,609375 = 0. Отсюда х₁ = 15,1421, х₂ = 159,142 - этот корень отбрасываем, так как точка К выходит за пределы треугольника АВС. Тогда радиус равен: R=√(13.5² + x²) = √(13.5²+15.1421²) = 20,286281.
Обозначим:
- точку касания окружностью стороны АВ точкой К,
- точки пересечения осью окружности, перпендикулярной стороне АС, со стороной АС за точку Р, со стороной АВ за точку Е,
- отрезок ОР за х,
- отрезок РЕ за в.
Так как окружность проходит через точки М и К, то МО и КО как радиусы равны.
Из треугольников ОМР и ОКЕ составим уравнение:
Возведём в квадрат и получаем квадратное уравнение:
(1 - cos²A)*x²-2bcos²A*x+(13.5²-b²cos²А) = 0.
Значение в находим: в = 22,5*tgA = 22.5*((1-cos²A)/cosA) = 5,809475.
Подставив значения в и cosA, получаем:
0,0625х² - 10,892766х + 150,609375 = 0.
Отсюда х₁ = 15,1421,
х₂ = 159,142 - этот корень отбрасываем, так как точка К выходит за пределы треугольника АВС.
Тогда радиус равен:
R=√(13.5² + x²) = √(13.5²+15.1421²) = 20,286281.
Как известно, сумму углов многоугольника находят по формуле:
180° · (n - 2), где n - число сторон многоугольника.
Сумма углов правильного пятиугольника равна:
180° · (5 - 2) = 180° · 3 = 540°.
Т.к. у правильного пятиугольника все углы равны, то один его внутренний угол равен 540° : 5 = 108°.
Построение правильного пятиугольника (см. рисунок)
1. Строим окружность произвольного радиуса.
2. Строим два перпендикулярных диаметра этой окружности (одна из простейших задач на построение с циркуля и линейки).
3. Делим один из радиусов пополам. Получаем точку А.
4. Измеряем расстояние АВ и строим точку С.
5. Строим окружность этого же радиуса АВ с центром в точке В.
6. Получаем точки D и G.
7. Из точек D и G строим окружности этого же радиуса и получаем точки Е и F.
8. Соединяем точки В, D, Е, F, G - получаем правильный пятиугольник.
Построение перпендикулярных прямых (деление отрезка пополам)
1. Строим один из диаметров.
2. Строим окружности большего (или меньшего) радиуса с центрами в концах построенного диаметра.
3. Соединяем точки пересечения построенных окружностей.
4. Полученная прямая и есть прямая, перпендикулярная данной (и делящая данный отрезок пополам) – в нашем случае, перпендикулярная диаметру.
Построение угла в 36° - см. рисунок
Задача решена.