Між сторонами кута ab, градусна міра якого дорівнює 60°,проведено Промінь c. Висначте кути ac і bc, якщо градусні міри кутів ac і bc відносяться, як 3 до 7.
Пусть будет окружность с центром в точке О, АВ - хорда. Искомый угол - угол АОВ. а) По теореме косинусов: Находим косинус по таблице Брадиса, получаем, что угол АОВ = примерно 84 градуса.
б) Если АВ=3, то треугольник АОВ равносторонний, а значит, угол АОВ=60 градусов.
в) Если АВ меньше 0,1, то по теореме косинусов Находим угол, косинус которого равен 0,1110. Это угол 83 градуса 38 минут, значит, угол АОВ < 83 градуса 38 минут.
г) Если АВ больше 4, то по теореме косинусов Значит, угол AOB>89 градусов 18 минут.
д) Пусть расстояние от центра до хорды равно 2х, тогда и хорда АВ=2х. Расстояние - это перпендикуляр, опущенный из точки О. Пусть он пересечёт АВ в точке Н, тогда АН=НВ=х. По теореме Пифагора Значит, АВ=. Тогда по теореме косинусов а угол АОВ=86 градусов 11 минут.
е) Пусть вторая хорда будет АС, точка А у них будет общая. АС перпендикулярно АВ и АС=АВ. угол А прямой и он вписан, значит, ВС - диаметр окружности, точка О лежит на отрезке ВС и ОВ=ОС, а значит ОА - это медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника АВС, а значит, угол АОВ=90 градусов.
а) По теореме косинусов:
Находим косинус по таблице Брадиса, получаем, что угол АОВ = примерно 84 градуса.
б) Если АВ=3, то треугольник АОВ равносторонний, а значит, угол АОВ=60 градусов.
в) Если АВ меньше 0,1, то по теореме косинусов
Находим угол, косинус которого равен 0,1110. Это угол 83 градуса 38 минут, значит, угол АОВ < 83 градуса 38 минут.
г) Если АВ больше 4, то по теореме косинусов
Значит, угол AOB>89 градусов 18 минут.
д) Пусть расстояние от центра до хорды равно 2х, тогда и хорда АВ=2х. Расстояние - это перпендикуляр, опущенный из точки О. Пусть он пересечёт АВ в точке Н, тогда АН=НВ=х. По теореме Пифагора
Значит, АВ=
а угол АОВ=86 градусов 11 минут.
е) Пусть вторая хорда будет АС, точка А у них будет общая. АС перпендикулярно АВ и АС=АВ. угол А прямой и он вписан, значит, ВС - диаметр окружности, точка О лежит на отрезке ВС и ОВ=ОС, а значит ОА - это медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника АВС, а значит, угол АОВ=90 градусов.
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos (гамма)
15^2 = 12^2 + b^2 - 2*12*b*cos(120) = 12^2 + b^2 - 24b*(-1/2)
225 = 144 + b^2 + 12b
b^2 + 12b - 81 = 0
D/4 = 6^2 + 81 = 36 + 81 = 117 = (3√13)^2
b = -6 + 3√13 = 3√13 - 6 ~ 4,81
По теореме синусов
a/sin(альфа) = b/sin(бета) = c/sin(гамма)
sin(гамма) = sin(120) = √3/2
c/sin(гамма) = 15 / (√3/2) = 15*2/√3 = 30√3/3 = 10√3
sin(альфа) = a / (c/sin(гамма)) = 12 / (10√3) =
= 12√3/(10*3) = 2√3/5 ~ 0,6928;
альфа ~ 43,85 градуса
sin(бета) = b / (c/sin(гамма)) = (3√13 - 6) / (10√3) =
= (3√13 - 6)*√3 / (10*3) = (√13 - 2)*√3 / 10 ~ 0,278;
бета ~ 16,15 градусов