Сделаем рисунок. Так как окружность пересекает продолжения сторон АС и ВС, а точки N и М лежат на ней, углы DNЕ и DМЕ, опирающиеся на диаметр DE, - прямые, а угол DСЕ , вершина С которого находится внутри окружности, тупой. Поскольку точки D и Е - середины сторон АС и ВС, отрезок DЕ - средняя линия треугольника АВС и равен половине АВ DЕ=АВ:2=7 DС= АС:2=3 СЕ=ВС:2=5 Найдем величину угла DСЕ по т. косинусов. Вычисления давать не буду, ничего сложного в них нет. Главное, что найденный в результате косинус угла DСВ равен - 0,5, и это косинус 120°. Угол ЕСN, как смежный с углом ЕСD, равен 60°. Т.к. треугольник ЕСN прямоугольный, угол СЕN равен 90°-60°=30°. На том же основании угол СDМ =30° Оба эти угла опираются на дугу МN. На ту же дугу опирается центральный угол МОN. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный, вдвое больше него, ⇒ угол МОN=60°. Угол ЕСN - внешний угол при вершине С треугольника DЕС. Он равен 60°, сумма углов ЕDС и DЕС равна этому внешнему углу и равна 60°. Сумма половин углов СЕN и СDМ равна 2*(30°:2)=30°. Следовательно, сумма углов ЕDК+КЕD равна 60°+30°=90°. Отсюда угол DКЕ равен 180°-90°=90° Треугольник DKE- прямоугольный, две его вершины лежат на окружности, а половина гипотенузы - радиус этой окружности. Следовательно, этот треугольник вписан в окружность, и К, точка пересечения биссектрис углов МЕNи NDМ, лежит на этой окружности, что и требовалось доказать. —— Треугольник МОN - равноберенный, т.к. ОМ=ОN= радиусу. Если угол при вершине равнобедренного треугольника равен 60°, этот треугольник - равносторонний. МN равна радиусу окружности, т.е. равна половине ее диаметра DЕ МN=7:2=3,5 ------ [email protected]
Треугольник АВС, АВ=ВС, АС=корень24, уголА=уголС=30, уголВ=180-30-30=120, МН - линия, площадьАМНС=площадьМВН=1/2площадьАВС, АС/sinВ =ВС/sinА, корень24/sin120=ВС/sin30, корень24/(корень3/2) / ВС/(1/2), ВС=корень8=2*корень2=АВ, площадьАВС=1/2*АВ*ВС*sin120=1/2*(2*корень2)*(2*корень2)*корень3/2=2*корень3, площадьМВН=2*корень3/2=корень3, треугольникиАВС и МВН подобны по двум углам уголВ общий , уголА=уголВМН как соответственные, в подобных треугольниках площади относятся как квадраты подобных сторон, площадь АВС/площадьМВН=ВС в квадрате/ВН в квадрате, 2*корень3/корень3=8/ВН в квадрате , ВН=корень8/2=2
Так как окружность пересекает продолжения сторон АС и ВС, а точки N и М лежат на ней, углы DNЕ и DМЕ, опирающиеся на диаметр DE, - прямые, а угол DСЕ , вершина С которого находится внутри окружности, тупой.
Поскольку точки D и Е - середины сторон АС и ВС, отрезок DЕ - средняя линия треугольника АВС и равен половине АВ
DЕ=АВ:2=7
DС= АС:2=3
СЕ=ВС:2=5
Найдем величину угла DСЕ по т. косинусов. Вычисления давать не буду, ничего сложного в них нет.
Главное, что найденный в результате косинус угла DСВ равен - 0,5, и это косинус 120°.
Угол ЕСN, как смежный с углом ЕСD, равен 60°.
Т.к. треугольник ЕСN прямоугольный, угол СЕN равен 90°-60°=30°.
На том же основании угол СDМ =30°
Оба эти угла опираются на дугу МN.
На ту же дугу опирается центральный угол МОN.
Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный, вдвое больше него, ⇒ угол МОN=60°.
Угол ЕСN - внешний угол при вершине С треугольника DЕС.
Он равен 60°,
сумма углов ЕDС и DЕС равна этому внешнему углу и равна 60°.
Сумма половин углов СЕN и СDМ равна 2*(30°:2)=30°. Следовательно, сумма углов ЕDК+КЕD равна 60°+30°=90°.
Отсюда угол DКЕ равен 180°-90°=90°
Треугольник DKE- прямоугольный, две его вершины лежат на окружности, а половина гипотенузы - радиус этой окружности.
Следовательно, этот треугольник вписан в окружность, и К, точка пересечения биссектрис углов МЕNи NDМ, лежит на этой окружности, что и требовалось доказать.
——
Треугольник МОN - равноберенный, т.к. ОМ=ОN= радиусу.
Если угол при вершине равнобедренного треугольника равен 60°, этот треугольник - равносторонний.
МN равна радиусу окружности, т.е. равна половине ее диаметра DЕ
МN=7:2=3,5
------
[email protected]
Треугольник АВС, АВ=ВС, АС=корень24, уголА=уголС=30, уголВ=180-30-30=120, МН - линия, площадьАМНС=площадьМВН=1/2площадьАВС, АС/sinВ =ВС/sinА, корень24/sin120=ВС/sin30, корень24/(корень3/2) / ВС/(1/2), ВС=корень8=2*корень2=АВ, площадьАВС=1/2*АВ*ВС*sin120=1/2*(2*корень2)*(2*корень2)*корень3/2=2*корень3, площадьМВН=2*корень3/2=корень3, треугольникиАВС и МВН подобны по двум углам уголВ общий , уголА=уголВМН как соответственные, в подобных треугольниках площади относятся как квадраты подобных сторон, площадь АВС/площадьМВН=ВС в квадрате/ВН в квадрате, 2*корень3/корень3=8/ВН в квадрате , ВН=корень8/2=2