Луч АВ – биссектриса угла ОАЕ, перпендикулярен отрезку ОЕ. Найдите длину отрезка АО, если АЕ = 5 см. С рисунком

Пусть АВСМ - ромб, АС = 10 и ВМ = 16 - диагонали, 
О - точка пересечения диагоналей. 
Тогда АО = СО = 1/2 АС = 5, 
ВО = МО = 1/2 ВМ = 8, 
прямоугольный треугольник АОВ имеет гипотенузу 
АВ = корень(5^2 + 8^2) = корень(89). 
И так, сторона ромба корень(89). 
По теореме косинусов находим косинус угла 
противолежащего основанию в равнобедренном 
треугольнике: 
АВС 
АС^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB*BC*cos(ABC) 
cos(ABC) = (AB^2 + BC^2 - АС^2) / 2AB*BC 
cos(ABC) = (89 + 89 - 100) / (2*89) 
cos(ABC) = 39/89. 
Аналогично для треугольника АВМ 
cos(BAM) = (89 + 89 - 256) / (2*89) 
cos(BAM) = -39/89. 
ответ: arccos(39/89), arccos(-39/89)

Так, объем пирамиды равен 1/3 произведения S основания на высоту. Высота Н находится из прямоугольного треугольника, связывающего боковое ребро 6 см , высоту Н и R-радиус. окружности, описанной около основания пирамиды - правильного треугольника.
Н=6см*sin60град=3*корень(3),
а-сторона основания правильной пирамиды а=R*корень(3),
R=6*сos60 град=6*(1/2)=3 см, след-но а=3*корень(3)
S основания=(а^2*корень(3))/4=(27*корень(3))/4
Итак, V пирамиды=(1/3)*S*H=81/4=20,25 см куб
Если нигде не ошиблась в вычислениях