Луч AK - биссектриса угла A. На сторонах угла A отмечены точки B и C так, что угол AKB = углу AKC. Докажите, что AB=AC

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Следовательно, четырехугольник KLMN - параллелограмм (на всякий случай).
а) NL - медиана треугольника ВNC. Следовательно,
Sbnl=Scnl (свойство медианы).
Но Sabln=Sdcln - дано.
Значит и Sabn=Sdcn.
Треугольники АВN и DCN имеют одинаковые основания, (точка N - середина отрезка AD. Значит и высоты ВР и CQ, проведенные к этим основаниям, равны.
Перпендикуляры ВP=CQ, значит точки В и С прямой ВС находится на одинаковом расстоянии от прямой АD, то есть ВС параллельна AD,
что и требовалось доказать.
б) АВСD - трапеция (доказано выше).
КМ - ее средняя линия.
Skbcn=(1/2)(BC+KM)*h1 (площадь трапеции).
Sakmd=(1/2)(AD+KM)*h2.
Но h1=h2, так как КМ - средняя линия трапеции.
Тогда Skbcn/Sakmd=(BC+KM)/(AD+KM).
КМ=(ВС+АD)/2.
Skbcn/Sakmd=(3ВС+AD)/BC+3AD=11/17 (дано)
51ВС+17AD=11BC+33AD.
40BC=16AD.
ВC/AD=2/5.

Расстояние от точки до плоскости равно длине отрезка, проведенного перпендикулярно к этой плоскости. 

Проведем через ребро SC и высоту пирамиды плоскость перпендикулярно плоскости ASB.

SM⊥АВ и СМ⊥АВ. Отрезок СН лежит в плоскости MSC, он перпендикулярен линии пересечения плоскостей SM  ⇒

 CH перпендикулярен плоскости ASB 

Искомое расстояние равно длине СН. 

Основание правильной треугольной пирамиды - правильный треугольник. Все его стороны равны, все углы равны 60°⇒

1)  СМ=АС•sin60°=2√3•√3:2=3

2) SM=√(SA²-AM²) 

AM=AB:2=√3

SM=√(9-3) =√6

3) SO=√(SM²-OM²)

OM=CM:3 =1( медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1) 

SO=√(6-1)=√5

4) sin ∠SMC=SO:SM=√5:√6

5) CH=CM•sin SMC=3•√5:√6=(√5•√2•√3):2=√15:√2 или √(15/2)