Кут між площинами трикутників АВС і АВD дорівнює 45º. Трикутник АВС – рівносторонній зі стороною 4корень з 3 см, трикутник ABD – рівнобедрений, AD=BD= корень з 14см. Знайти довжину відрізка CD.
Две плоскости пересекаются под углом 60°. Точка М находится на одинаковом расстоянии от этих плоскостей. Найдите расстояние от точки М до линии пересечения этих плоскостей, если расстояние от точки М до каждой плоскости равно 4 см.
ответ: 8 см
Объяснение:
Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой b.
Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости.
Проведем МА⊥α и МВ⊥β. По условию МА = МВ = 4 см.
Плоскость (АМВ) пересекает прямую b в точке С.
АМ⊥α, b ⊂ α, значит АМ⊥b,
ВМ⊥β, b ⊂ β, значит ВМ⊥b,
а так как прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости (АМВ), то она перпендикулярна и всей плоскости, и каждой прямой, лежащей в плоскости.
Итак, b⊥АС и b⊥ВС, тогда ∠АСВ = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостями.
А так же b⊥МС, значит МС - искомое расстояние от точки М до прямой b.
ΔАМС = ΔВМС по гипотенузе и катету (МА = МВ по условию, гипотенуза МС - общая), значит
∠МСА = ∠МСВ = 1/2 ∠ АСВ = 30°
В прямоугольном треугольнике АМС напротив угла в 30° лежит катет АМ = 4 см, значит
ответ: 3√5/5 см²
Объяснение:
ABCD - ромб, АН = h = 4√3/6 = 2√3/3 см - высота ромба.
АС = d₁ - большая диагональ.
h = 2/3 d₁, ⇒
d₁, = 3/2 h = 3/2 · 2√3/3 = √3 см
ΔАСН: ∠АНС = 90°,
sin α = h / d₁ = 2√3/3 / √3 = 2/3
cosα = √(1 - sin²α) = √(1 - 4/9) = √(5/9) = √5/3
tg α = sinα / cosα = (2/3) : (√5/3) = 2/3 · 3/√5 = 2/√5
Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
ΔОСВ: ∠СОВ = 90°, ОС = d₁/2, ОВ = d₂/2,
tg α = OB / OC
OB = OC · tgα
d₂/2 = d₁/2 · tgα = √3/2 · 2/√5 = √3/√5
d₂ = 2√3/√5
Площадь ромба:
S = 1/2 d₁ · d₂ = 1/2 · √3 · 2√3/√5 = 3/√5 = 3√5/5 см²
Две плоскости пересекаются под углом 60°. Точка М находится на одинаковом расстоянии от этих плоскостей. Найдите расстояние от точки М до линии пересечения этих плоскостей, если расстояние от точки М до каждой плоскости равно 4 см.
ответ: 8 см
Объяснение:
Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой b.
Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости.
Проведем МА⊥α и МВ⊥β. По условию МА = МВ = 4 см.
Плоскость (АМВ) пересекает прямую b в точке С.
АМ⊥α, b ⊂ α, значит АМ⊥b,
ВМ⊥β, b ⊂ β, значит ВМ⊥b,
а так как прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости (АМВ), то она перпендикулярна и всей плоскости, и каждой прямой, лежащей в плоскости.
Итак, b⊥АС и b⊥ВС, тогда ∠АСВ = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостями.
А так же b⊥МС, значит МС - искомое расстояние от точки М до прямой b.
ΔАМС = ΔВМС по гипотенузе и катету (МА = МВ по условию, гипотенуза МС - общая), значит
∠МСА = ∠МСВ = 1/2 ∠ АСВ = 30°
В прямоугольном треугольнике АМС напротив угла в 30° лежит катет АМ = 4 см, значит
МС = 2АМ = 8 см