К плоскости равностороннего треугольника ABC проведён перпендикуляр AD, точка E - середина стороны BC. 1) Докажите,что DE⊥BC. 2) Найдите DE, если AB = 4 см, AD = 3 см.
1) Доказательство: ▪DA - перпендикуляр к плоскости АВС АЕ - перпендикулярен ВС ( В равностороннем треугольнике любая медиана является и высотой, и биссектрисой ) Значит, по теореме о трёх перпендикулярах DE перпендикулярен ВС, что и требовалось доказать. *** см. приложение ***
2) Решение: ▪ Рассмотрим тр. АВС: Высота в равностороннем треугольнике рассчитывается через сторону по формуле: h = a•V3 / 2 => AE = ABV3/2 = 4V3/2 = 2V3 см ( см. приложение ) ▪ИЛИ рассмотрев прям. тр. АВЕ: ВЕ = ЕС = ВС/2 = 4 / 2 = 2 см По теореме Пифагора: АВ^2 = АЕ^2 + ВЕ^2 АЕ^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12 АЕ = V12 = V( 4 • 3 ) = 2V3 см ▪Рассмотрим прям. тр. DAE: по т. Пифагора DE^2 = АD^2 + AE^2 DE^2 = 3^2 + ( V12 )^2 = 9 + 12 = 21 DE = V21 см
1) Докажите,что DE⊥BC.
2) Найдите DE, если AB = 4 см, AD = 3 см.
1) Доказательство:
▪DA - перпендикуляр к плоскости АВС
АЕ - перпендикулярен ВС ( В равностороннем треугольнике любая медиана является и высотой, и биссектрисой )
Значит, по теореме о трёх перпендикулярах DE перпендикулярен ВС, что и требовалось доказать.
*** см. приложение ***
2) Решение:
▪ Рассмотрим тр. АВС:
Высота в равностороннем треугольнике рассчитывается через сторону по формуле:
h = a•V3 / 2 => AE = ABV3/2 = 4V3/2 = 2V3 см ( см. приложение )
▪ИЛИ рассмотрев прям. тр. АВЕ:
ВЕ = ЕС = ВС/2 = 4 / 2 = 2 см
По теореме Пифагора:
АВ^2 = АЕ^2 + ВЕ^2
АЕ^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12
АЕ = V12 = V( 4 • 3 ) = 2V3 см
▪Рассмотрим прям. тр. DAE: по т. Пифагора
DE^2 = АD^2 + AE^2
DE^2 = 3^2 + ( V12 )^2 = 9 + 12 = 21
DE = V21 см
☆ ОТВЕТ: 1) доказано ; 2) V21 см ☆