Контрольные работы 6. Треугольник АВЕ - равнобедренный с основанием АЕ. Его периметр равен 64 см, ВЕ = 20 см. Найдите длину отрезка ВМ (М - точка касания вписанной окружности со стороной BE).
Запишите номера верных ответов к заданиям 1 и 2. 1°. К окружности с центром О проведены касательные и (А и С - точки касания). Найдите АОВ, если
= 80°.
1) 80°
2) 50°
3) 100°
4) 40°
2°. На рисунке = 30°, = 100°. Найдите
ZMKD.
1) 30°
2) 50°
3) 100°
4) 130°
Запишите ответ к заданиям 3 и 4. 3°. В окружности проведены диаметр KN и две хорды ВК = 8 см и BN = 6 см. Чему равен радиус онружности?
4°. Хорды MN и РК пересекаются в точке С. Найдите длину отрезка СР, если он в 5 раз больше отрезка СК, MC = 5, CN = 9.
5 Запишите обоснованное решение задач 5 и 6. 5. На рисунке ВС — диаметр окружности, МН 1 ВС. Найдите длину хорды МС, если ВН %3D6 см, СH - 2 см.
6. Периметр равнобедренного треугольника МRS ра- вен 66 м, а основание MS равно 26 м. Найдите длину от- резка АR (А — точка касания вписанной окружности со стороной МR).
1. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
R = a₃√3/3 = 5√3 · √3/3 = 5 см.
Эта же окружность вписана в правильный шестиугольник. Тогда сторона правильного шестиугольника:
a₆ = 2r · tg(180°/6) = 2r · tg30° = 2r · √3/3
r = R = 5 см
a₆ = 2 · 5 · √3/3 = 10√3/3 см
2. R = 2√3 см, r = 3 см
Запишем формулы стороны правильного многоугольника через радиус описанной и вписанной окружности, получаем систему уравнений с двумя неизвестными: а и n.
a = 2R · sin(180°/n) = 4√3 · sin(180°/n) (1)
a = 2r · tg(180°/n) = 6 · tg(180°/n) (2)
Приравниваем правые части:
4√3 · sin(180°/n) = 6 · tg(180°/n), и так как tgα = sinα/cosα, получаем:
2√3 · sin(180°/n) = 3 · sin(180°/n)/cos(180°/n)
Делим на sin(180°/n) обе части уравнения:
2√3 = 3/cos(180°/n)
cos(180°/n) = 3 / (2√3) = 3√3/6 = √3/2, ⇒
180°/n = 30°
n = 180°/30° = 6 - количество сторон многоугольника.
Для правильного шестиугольника сторона равна радиусу описанной окружности: а = R = 2√3 см.
Или подставляем найденное значение в формулу (1) или (2):
Рассмотрим параллелограмм АВСД (см. рисунок) стороны которого: АВ=32 см, ВС=40 см. Из угла АВС проведем перпендикуляр ВЕ и расстояние между вершинам тупых углов ВД Рассмотрим треугольник АВЕ: Угол АЕВ=90 градусов, Гипотенуза АВ=32 см, Катет АЕ=16 см (по условию задачи) По теореме Пифагора найдем второй катет (высоту): ВЕ= √(АВ^2-АЕ^2)= √(32^2-16^2)= √(1024-256)= √768 см. Теперь рассмотрим треугольник BДE: ДЕ=АД-АЕ=40-16=24 см. ВЕ=√768 см. Угол ВЕД=90 градусов По теореме Пифагора найдем ВД: ВД=√(ВЕ^2+ВД^2)= √((√768)^2+24^2))= √(768+576)= √1344=8√21 см или приблизительно 36,66 см. ответ: расстояние между вершинами тупых углов равно 8√21 см
1. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
R = a₃√3/3 = 5√3 · √3/3 = 5 см.
Эта же окружность вписана в правильный шестиугольник. Тогда сторона правильного шестиугольника:
a₆ = 2r · tg(180°/6) = 2r · tg30° = 2r · √3/3
r = R = 5 см
a₆ = 2 · 5 · √3/3 = 10√3/3 см
2. R = 2√3 см, r = 3 см
Запишем формулы стороны правильного многоугольника через радиус описанной и вписанной окружности, получаем систему уравнений с двумя неизвестными: а и n.
a = 2R · sin(180°/n) = 4√3 · sin(180°/n) (1)
a = 2r · tg(180°/n) = 6 · tg(180°/n) (2)
Приравниваем правые части:
4√3 · sin(180°/n) = 6 · tg(180°/n), и так как tgα = sinα/cosα, получаем:
2√3 · sin(180°/n) = 3 · sin(180°/n)/cos(180°/n)
Делим на sin(180°/n) обе части уравнения:
2√3 = 3/cos(180°/n)
cos(180°/n) = 3 / (2√3) = 3√3/6 = √3/2, ⇒
180°/n = 30°
n = 180°/30° = 6 - количество сторон многоугольника.
Для правильного шестиугольника сторона равна радиусу описанной окружности: а = R = 2√3 см.
Или подставляем найденное значение в формулу (1) или (2):
a = 6 · tg(180°/n) = 6 · tg(180°/6) = 6 · tg30° = 6/√3 = 2√3 cм
Рассмотрим треугольник АВЕ:
Угол АЕВ=90 градусов, Гипотенуза АВ=32 см, Катет АЕ=16 см (по условию задачи)
По теореме Пифагора найдем второй катет (высоту):
ВЕ= √(АВ^2-АЕ^2)= √(32^2-16^2)= √(1024-256)= √768 см.
Теперь рассмотрим треугольник BДE:
ДЕ=АД-АЕ=40-16=24 см. ВЕ=√768 см. Угол ВЕД=90 градусов
По теореме Пифагора найдем ВД:
ВД=√(ВЕ^2+ВД^2)= √((√768)^2+24^2))= √(768+576)= √1344=8√21 см или приблизительно 36,66 см.
ответ: расстояние между вершинами тупых углов равно 8√21 см