Контрольная работа №7 по теме " Координаты и векторы"
1.Даны точки A(5; 2;0) и B(-4; 3; 0). Найдите а) координаты вектора ⃗, б) длину вектора ⃗.

2.Найдите координаты точки M - середины отрезка AB, если
A(-5; 1; 10) и B(-5; 16; -14)

3.Вычислите угол между прямыми AB и CD, если A(1; 1; 0),
B( 3; -1; 0), C(4; -1; 2), D(0; 1; 0).

4. Составьте уравнение плоскости , проходящей через точку
M0(5; 6; 9) и перпендикулярной вектору ⃗{4;1;-3}

5. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный, если координаты его вершин таковы: A(3; 1; 2), B(1; 2; -1), C( -2; 2; 1)

6. Определите взаимное расположение плоскостей: x - 3y + z + 4 = 0 и
3x + 2y + 3z - 3 =0

Объяснение:

1

a)М-середина

х=(5-3)/2=1    y=(-2+4)/2=1  z=(1+7)/2=4

M(1;1;4)

b)5=(x-3)/2⇒x-3=10⇒x=13

-2=(y+4)/2⇒y+4=-4⇒y=-8

1=(z+7)/2⇒z+7=2⇒z=-5

C(13;-8;-5)

2

a+b={1;-4;1}

|a+b|=√1+16+1=√18=3√2

|a|+|b|=√4+36+9+√1+4+4=√49+√9=7+3=10

3

AB=√(1-2)²+(-5-1)²+(0+8)²=√1+36+64=√101

BC=√(8-1)²+(1+5)²+(-4-0)²=√49+36+16=√101

AC=√(8-2)²+(1-1)²+(-4+8)²=√36+0+16=√52=2√13

AB=BC- треугольник равнобедренный

Средняя линия равна 1/2АС=1/2*2√13=√13

Пусть N(x;y;z)- произвольная точка плоскости.

Тогда векторы NM  и  n - ортогональны.

Условием ортогональности является равенство нулю их скалярного произведения.

Находим координаты векторов.

NM (2-x;3-y;5-z)

n(4;3;2)

Находим их скалярное произведение - это сумма произведений одноименных координат

4(2-х)+3(3-у)+2(5-z) 

и приравниваем к нулю

4(2-х)+3(3-у)+2(5-z) =0

или

8-4х+9-3у+10-2z=0

4x+3y+2z-27=0

ответ. 4х+3у+2z-27=0

Подробнее - на -