Контрольна робота
по темі: «теорема фалеса, середня лінія трапеції та трикутника.
вписані та центральні кути. вписані та описані чотирикутники»
варiант 2
1. (1 ) за даними на рисунку знайдіть градусну міру кута аос.
2. (1 ) 2 amc = 80°. знайти градусну міру дуги авм.
|d
3. (1 ) основи трапеції дорівнюють 20 см та 40 см. знайти середню лінію
трапеції.
4. (2 ) діагоналі рівнобічної трапеції є бісектрисами її гострих кутів, а її
менша основа дорівнює 6 см. чому дорівнює бічна сторона трапеції?
5. (2 ) точки ріe – середини сторін bc i ba трикутника авс відповідно.
знайдіть периметр трикутника авс, якщо be = 8 см, bp = 14 см, ep = 16 см.
6. (2 ) гострий кут прямокутної трапеції у 3 рази менший від її тупого кута
знайдіть ці кути.
7. (3 ) у прямокутну трапецію, периметр якої дорівнює 54 см, вписано
коло радіуса 5 см. знайдіть більшу бічну сторону трапеції.
Пусть угол при основании х, тогда угол между высотой и боковой стороной равнобедренного треугольника равен (х-15°).
Угол при вершине в два раза больше 2(х-15°)
Сумма углов треугольника равна 180°
х+ х+2·(х-15°)=180°
4х=210°
х=52,5°
х-15°=52,5-15=37,5°
Угол при вершине равнобедренного треугольника в 2 раза больше, так как высота равнобедренного треугольника является также и биссектрисой.
ответ. углы при основании 52,5°; 52,5° и угол при вершине 75°
решение
пусть в выпуклом четырехугольнике abcd
ав + cd =вс +ad. (1)
точка о пересечения биссектрис углов а и в равноудалена от сторон ad, ав и вс, поэтому можно провести окружность с центром о, касающуюся указанных трех сторон (рис. 238, а). докажем, что эта окружность касается также стороны cd и, значит, является вписанной в четырехугольник abcd.
предположим, что это не так. тогда прямая cd либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. рассмотрим первый случай (рис. 238, б). проведем касательную c'd', параллельную стороне cd (с' и d' точки пересечения касательной со сторонами вс и ad). так как abc'd' описанный четырехугольник, то по свойству его сторон
но вс' =вс -с'с, ad' =ad - d'd, поэтому из равенства (2) получаем:
правая часть этого равенства в силу (1) равна cd. таким образом, приходим к равенству
т.е. в четырехугольнике ccdd' одна сторона равна сумме трех других сторон. но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно. аналогично можно доказать, что прямая cd не может быть секущей окружности. следовательно, окружность касается стороны cd, что и требовалось доказать.